Komplexe Zahlen x_(n)+ iy_(n):= (1 + i√7)^n. Beweisen, dass x_(n+1)y_(n) - x_(n)y_(n+1) = 2^{3n}√7.

Question

Aufgabe:

Für \( n \in \mathbb{N} \) sei

\( z_{n}=(1-i \sqrt{7})^{n} \quad x_{n}=\operatorname{Re}\left(z_{n}\right), y_{n}=\operatorname{Im}\left(z_{n}\right) \)

Zeigen Sie, dass

\( x_{n+1} y_{n}-x_{n} y_{n+1}=2^{3 n} \sqrt{7} \)

Comments

Du könntest einen Induktionsbeweis probieren. Hast du denn die Verankerung schon?

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Nein ich hab weder im skript noch sonst wo was gefunden was mir nur im entferntesten helfen kann .. Ich komme auf gar keine Lösung ..

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Das sieht ziemlich polynomial aus ... rechne doch einfach mal die ersten paar Glieder durch bis es Dir wie Schuppen aus den Haaren fällt.

Answer 1

Induktionsverankerung klappt:

(1 - i* √(7) ) ^2 = -6 - 2 √(7) * i

also x1= 1      y1 = - √(7)

x2 = -6      y2 = - 2 √(7)

x2 * y1 - x1 * y2 = -6 * - √(7) -  1 * ( -2 √(7) )

= 6 √(7)  + 2 √(7)  =  8 wu (7) =  2^3 * √(7).

Dann bekommst du auch den Induktionsschritt hin.