Bestimmen Sie die Koordinaten des höchsten Punkts {H}(x_{1} | y_{1}) des Schutzwalls und des tiefsten Punkts …

Question

Aufgabe:Anwendungsaufgabe polynomfunktionen

Problem/Ansatz:

Wie löse ich folgende Anwendungsaufgabe:

Text erkannt:

An einer Schnellstraße soll ein \( 5 \mathrm{~m} \) breiter Lärmschutzwall aufgeschüttet werden. Neben
AUFGABE 4 [ 12 BE ] dem Schutzwall soll zusätzlich ein \( 3 \mathrm{~m} \) breiter Abwassergraben ausgehoben werden. Die Abbildung zeigt den Querschnitt einer Planungsskizze des Bauvorhabens. Dabei ist ein Koordinatensystem so gewählt worden, dass die x-Achse in der horizontalen Straßenebene und der Beginn des Schutzwalls zur Straßenseite im Nullpunkt des Koordinatensystems liegt.
Die Randkurve von Schutzwall und Wassergrabens hat die Funktionsgleichung \( f(x)=a \cdot x^{3}+b \cdot x^{2}+c \cdot x+d \) (Hinweis: die Abbildung ist nicht maßstabgetreu)
(a) Leiten Sie die Funktionsgleichung \( f(x)=a \cdot x^{3}+b \cdot x^{2}+c \cdot x+d \) der Randkurve her. [ Zur Kontrolle: \( f(x)=\frac{1}{12} \cdot x^{3}-\frac{13}{12} \cdot x^{2}-\frac{10}{3} \cdot x \) ]
(b) Bestimmen Sie die Koordinaten des höchsten Punkts \( \mathrm{H}\left(x_{1} \mid y_{1}\right) \) des Schutzwalls und des tiefsten Punkts \( \mathrm{T}\left(x_{2} I y_{2}\right) \) des Grabens, und geben Sie die Höhe h des Schutzwalls sowie die Tiefe t des Grabens in Meter an .

Answer 1

Hallo,

aus dem Querschnitt kannst du die Nullstellen und einen weiteren Punkt ablesen. Stelle daraus ein Gleichungssystem auf.

\( \begin{array}{l}f(0)=0 \Rightarrow d=0 \\ f(5)=0 \Rightarrow 125 a+25 b+5 c=0 \\ f(8)=0 \Rightarrow 512 a+64 b+8 c=0 \\ f(3)=2,5 \Rightarrow 27 a+9 b+3 c=2,5\end{array} \)

Die Lösung ist bereits angegeben, allerdings mit einem Tippfehler.

Richtig ist \(f(x)=\frac{1}{12}x^3-\frac{13}{12}x^2\red+\frac{10}{3}x\)

Zur Bestimmung der Extrempunkte setzt du die 1. Ableitung = 0 und löst nach x auf. Setze deine Ergebnisse

- in die 2. Ableitung ein, um herauszufinden, ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkte handelt

- in die Ausgangsgleichung ein, um die y-Koordinaten (= Höhe und Tiefe) zu bestimmen

Melde dich, falls du dazu noch Fragen hast.

Gruß, Silvia

Answer 2

Lösung über die Nullstellenform der kubischen Parabel:

\(N_1(0|0)\)   \(N_2(5|0)\)   \(N_3(8|0)\) 

\(f(x)=a*x*(x-5)*(x-8)\)

\(P(3|2,5)\)

\(f(3)=a*3*(3-5)*(3-8)=30a=2,5\)   \(a=\frac{1}{12}\)

\(f(x)=\frac{1}{12}*x*(x-5)*(x-8)\)

Nun kann ausmultipliziert werden, um noch b,c und d zu bestimmen.

Comments

hj wird wieder krampfhaft suchen, dir an den Karren zu fahren.

Er ist wieder in Polemikstimmung und kann zwischen Äpfeln und Birnen nicht

unterscheiden bzw. tut es bewusst nicht um seine üblichen Spielchen treiben

zu können.