Besitzt die Parabel einen tiefsten oder höchsten Punkt? Bestimme dessen Koordinaten.

Question

Aufgabe:

y= (3-x)(x+3)

y= - (x+2)²-2

Problem/Ansatz:

Wir haben das Thema y=(x-d) ²+c und ich weiß hier nicht wann es einen tiefsten oder höchsten Punkt hat und wie man das bestimmt, weil das - vor der Klammer bei der 2. Aufgabe mich irritiert und die erste Aufgabe wegen den 2 klammern.

Answer 1

y= (3-x)(x+3)=(3-x)(3+x)=9-x²=-x²+9   

                         ist eine nach unten geöffnete Parabel mit S(0|9)

y= - (x+2)²-2    ist eine nach unten geöffnete Parabel mit S(-2|-2)

Nach oben geöffnet x²

Nach unten geöffnet -x²  

Answer 2

Merken :
y = plus x^2 nach oben geöffnete Parabel mit Tiefpunkt
y = minus x^2 nach unten geöffnete Parabel mit Hochpunkt

y= (3-x)(x+3)
y = 3x - x^2 + 9 - 3x = - x^2 + 9 ( Scheitelpunkt ist Hochpunkt )

y= - (x+2)²-2 = - ( x^2 + 4x + 4 ) - 2
y = - x^2 - 4x - 4 - 2  ( Scheitelpunkt ist Hochpunkt )

Answer 3

y= (3-x)(x+3)

y= - (x+2)²-2


Problem/Ansatz:

Wir haben das Thema y=(x-d) ²+c und ich weiß hier nicht wann es einen tiefsten oder höchsten Punkt hat und wie man das bestimmt, weil das - vor der Klammer bei der 2. Aufgabe mich irritiert und die erste Aufgabe wegen den 2 klammern.

y=(x-d) ²+c

Das hier genügt an dieser Stelle nicht mehr. Skizze: Ich nehme mal das Resultat in einem Plot vorweg:

~plot~ (3-x)(x+3); (x-3)(x+3); -(x+2)^2-2; (x+2)^2-2 ~plot~

Siehst du, was neu ist?

[spoiler]

(3-x)(x+3)          | Reihenfolge in der Summe ändern

= (3-x)(3+x)        | 3. binomische Formel

= 9 - x^2            | Reihenfolge

= - x^2 + 9

= - (x-0)^2 + 9 mit S(0|9) als Hochpunkt.

Answer 4

Aloha :)

$$\left.y=(3-x)(x+3)\quad\right|\;\text{ausmultiplizieren}$$$$\left.y=3x-x^2+9-3x\quad\right|\;\text{zusammenfassen}$$$$\left.y=-x^2+9\quad\right|\;\text{zusammenfassen}$$Die Parabel ist nach unten geöffnet, weil vor dem \(x^2\) ein Minuszeichen steht, daher hat sie einen Hochpunkt bei \((0|9)\).

~plot~ (3-x)(x+3) ; [[-4|4|-1|10]] ~plot~

$$y=-(x+2)^2-2$$Auch diese Parabel ist nach unten geöffnet, weil vor dem \(x^2\) ein Minuszeichen steht. Das Quadrat in der Klammer ist gleich \(0\), wenn \(x=-2\) ist. An dieser Stelle ist der \(y\)-Wert dann \(-2\). Daher hat die Funktion einen Hochpunkt bei \((-2|2)\).

~plot~ -(x+2)^2-2 ; [[-5|3|-10|1]] ~plot~