Bestimmen Sie die Frequenzen des tiefsten Tons f_{0} und des höchsten Tons f_{87} .

Question

ich komme beim letzten Teil meiner Aufgabe nicht weiter ( Bild sollte im Anhang sein).

die Formel zur Berechnung von n konnte ich bereits aufstellen und so auch fn(0) und fn(87) problemlos berechnen.


fn= 440⋅2^x mit x = (n-48) / 12

Nun fehlt mir allerdings der Beweis (letzte Satz in der Aufgabenstellung) und ich weiß nicht, wie genau ich es angehen soll.

Lösungswege und Vorschläge sind gerne gesehen.

Danke

Text erkannt:

Bei dieser Aufgabe formulieren Sie Ihre Argumentation bitte in aussagekräftigen kurzen Sätzen.
Die Tasten einer Klaviatur seien mit \( n \in\{0,1, \ldots, 87\} \) indiziert. Die in dieser Zählung 48 te Taste erzeugt in der Standardstimmung einen Ton der Frequenz \( f_{48}=440 \mathrm{~Hz} \). Außerdem wissen Sie, dass eine Oktave, also ein Tonintervall von 12 Tönen, einer Verdopplung der Frequenz entspricht. Es gilt also \( f_{k+12}=2 f_{k} \)
Stellen Sie eine explizite Formel für die Frequenzen \( f_{n} \) auf.
Bestimmen Sie die Frequenzen des tiefsten Tons \( f_{0} \) und des höchsten Tons \( f_{87} \).
Beweisen Sie, dass die Beziehung \( f_{n}^{2}=f_{n-k} f_{n+k} \) für alle zulässigen \( n \) und \( k \) gilt.

Answer 1

\( n \in\{0,1, \ldots, 87\} \)

\( f_{48}=440 \mathrm{~Hz} \)

\( f_{k+12}=2 f_{k} \)

\( f_{n}^{2}=f_{n-k} f_{n+k} \)

\( f_{0}=440/2^4 \mathrm{~Hz} \)

\( f_{0}=440/16 \mathrm{~Hz} \)

\( f_{0}=27,5 \mathrm{~Hz} \)

\( f_{n}=27,5*2^\frac{n}{12} \mathrm{~Hz} \)

\( f_{87}=27,5*2^\frac{87}{12} \mathrm{~Hz} \)

\( f_{87}≈4186 \mathrm{~Hz} \)

\( f_{n}^{2}=f_{n-k} f_{n+k} \)
\( f_{n}^{2}=27,5*2^\frac{n-k}{12} *27,5*2^\frac{n+k}{12} \mathrm{~Hz} \)
\( f_{n}^{2}=27,5^2*2^\frac{2n}{12} \mathrm{~Hz} \)
\( f_{n}^{2}=(27,5*2^\frac{n}{12})^2 \mathrm{~Hz} \)
\( f_{n}=(27,5*2^\frac{n}{12}) \mathrm{~Hz} \)

Answer 2

Zunächst musst du x = (n-48)/12 in f(n)= 440⋅2^x einsetzen:

f(n)= 440⋅2^{(n-48) /12}=55·2^(n-1)/12

Dann ist f(n-k)·f(n+k)=3025·2^(n-12)/6 und f(n)²=3025·2^(n-12)/6.