Gegeben ist der Vektorraum der reellen \( 2 x 2 \)-Diagonalmatrizen
\( V:=\left\{\left[\begin{array}{ll} a & 0 \\ 0 & b \end{array}\right] \mid a, b \in \mathbb{R}\right\} \)
eine lineare Abbildung \( L: V \rightarrow V \) und die darstellende Matrix \( L_{\mathscr{B}} \) bezüglich einer Basis \( \mathscr{B}=\left\{B_{1}, \ldots, B_{n}\right\} \)
\( L \) und \( L_{\mathscr{B}} \) sind im Aufgabenteil des Applets konkret gegeben.
Geben Sie die Anzahl \( n \) der Elemente in der Basis \( B \) an und bestimmen Sie anschließend
\( K_{\mathscr{B}}\left(B_{i}\right), L_{\mathscr{B}}\left(K_{\mathscr{B}}\left(B_{i}\right)\right) \) sowie \( K_{\mathscr{B}}^{-1}\left(L_{\mathscr{B}}\left(K_{\mathscr{B}}\left(B_{i}\right)\right)\right) \) als Linearkombination der Basiselemente für alle \( B_{i}(i=1, \ldots, n) \).
Bestimmen Sie eine Basis \( \mathscr{B} \), sodass \( L_{\mathscr{B}} \) die darstellende Matrix von \( L \) bzgl. \( \mathscr{B} \) ist.
Hinweis: \( \mathscr{B} \) ist nicht unbedingt eindeutig. D.h., es gibt unter Umständen mehr als eine mögliche Lösung.
L: V → V
\( \left[\begin{array}{ll}a & 0 \\ 0 & b\end{array}\right] \quad \mapsto\left[\begin{array}{cc}a-5 b & 0 \\ 0 & -4 b\end{array}\right] \)
Die darstellende Matrix von \( L \) bezüglich einer Basis \( \mathcal{B} \) sei: \( L_{g}=\left[\begin{array}{cc}-4 & -5 \\ 0 & 1\end{array}\right] \)
Anzahl n der Elemente in der Basis \( \mathcal{B}: n= (2) \) (Auswahl)
\( \mathcal{B}=\left\{B_{1}, B_{2}\right\} \)
\( K_{\mathcal{B}}\left(B_{1}\right)= \begin{pmatrix} ? \\ ? \end{pmatrix} \) \( K_{\mathcal{B}}\left(B_{2}\right)= \begin{pmatrix} ? \\ ? \end{pmatrix} \)
\( L_{\mathcal{B}} \left( K_{\mathcal{B}}\left(B_{1}\right) \right) = \begin{pmatrix} ? \\ ? \end{pmatrix} \) \( L_{\mathcal{B}} \left( K_{\mathcal{B}}\left(B_{2}\right) \right) = \begin{pmatrix} ? \\ ? \end{pmatrix} \)
\( K_{g}^{-1}\left(L_{g}\left(K_{g}\left(B_{1}\right)\right)\right) = ? \)
\( K_{g}^{-1}\left(L_{g}\left(K_{g B}\left(B_{2}\right)\right)\right) = ? \cdot B_{1} + ? \cdot B_{2} \)
\( \mathcal{B}= \left( \begin{pmatrix} ? & ? \\ ? & ? \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} ? & ? \\ ? & ? \end{pmatrix} \right) \)
