Du kannst nicht weiterkommen? Wo liegt denn dein Problem ?
Du hast also folgendes gegeben:
y'+y =1 für 0<x<=1
y'+y=-1 für x>1
Die einzelnen DGLs kannst du mit Trennung der Variablen auflösen:
Fürs den ersten Teil rechne ich das ausnahmsweise mal vor:
y'+y =1
<=> y'=1-y
<=> y'/ 1-y = 1 beide Seiten nach x integrieren.
<=> ∫1/(1-y) dx = ∫1 dx
<=> -log(1-y) = x+c
<=> 1-y =- e^{x+c}+1
<=> y = ce^-1 +1
c ausrechnen mit dem gegebenen Anfangswert.
Dann das selbe für die zweite DGL machen und die konstante so bestimmen, dass die Lösung der zweiten DGL an der Stelle 1 und in der Ableitung an der Stelle 1 die selben Werte wie die erste Lösung besitz. Dann ist die Funktion stetig.