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Aufgabe:

Gegeben ist die DGL :  dydx+y=f(x) \frac{d y}{d x}+y=f(x)


Die Inhomogenität ist definiert durch

f(x) = 1 für 0 ≤ x ≤ 1 und f(x) = -1 für x>1

Weiter gilt die Anfangsbedingung y(0)=1

a) Die auf dem Intervall [0, ∞[ stetige Lösung y(x) des AWP ist zu berechnen.

b) Skizze y(x)

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dydx+y(x)=f(x) \frac{dy}{dx}+y(x) =f(x)
zuerst mal "homogenisieren":
dydx+y(x)=0 \frac{dy}{dx}+y(x) =0
dydx=y(x) \frac{dy}{dx}=-y(x)
1y(x)dydx=1 \frac1{y(x)}\frac{dy}{dx}=-1
1y(x)dydxdx=1dx \int \, \frac1{y(x)}\frac{dy}{dx} \, dx=-\int \,1\, dx
1y(x)dy=1dx \int \, \frac1{y(x)} \, dy=-\int \,1\, dx
ln(y)=x+C \ln(y)=-x +C
eln(y)=e(x+C) e^{\ln(y)}=e^{(-x +C)}
yH=e(x)eCy_H=e^{(-x) }\cdot e^C
yH=e(x)Dy_H=e^{(-x) }\cdot D
inhomogener Lösung durch Ansatz der rechten Seite:
y=e(x)D+ay=e^{(-x) }\cdot D+a
y=e(x)Dy'=-e^{(-x) }\cdot D
e(x)D+e(x)D+a=f(x) -e^{(-x) }\cdot D +e^{(-x) }\cdot D+a =f(x)
a=f(x) a =f(x)
y=De(x)+f(x)y= D \cdot e^{(-x) }+f(x)



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Du kannst nicht weiterkommen? Wo liegt denn dein Problem ?

Du hast also folgendes gegeben:
y'+y =1  für 0<x<=1

y'+y=-1 für x>1


Die einzelnen DGLs kannst du mit Trennung der Variablen auflösen:

Fürs den ersten Teil rechne ich das ausnahmsweise mal vor:

y'+y =1 

<=> y'=1-y

<=> y'/ 1-y = 1              beide Seiten nach x integrieren.

<=> ∫1/(1-y) dx = ∫1 dx

<=>  -log(1-y) = x+c

<=> 1-y =- ex+c+1

<=> y = ce^-1 +1


c ausrechnen mit dem gegebenen Anfangswert.

Dann das selbe für die zweite DGL machen und die konstante so bestimmen, dass die Lösung der zweiten DGL an der Stelle 1  und in der Ableitung an der Stelle 1 die selben Werte wie die erste Lösung besitz. Dann ist die Funktion stetig.

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