Die Inhomogenität der DGL dy/dx + y = f(x) ist definiert durch f(x) = 1 für 0≤x≤1 und f(x) = -1 für x>1

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die DGL :  \( \frac{d y}{d x}+y=f(x) \)


Die Inhomogenität ist definiert durch

f(x) = 1 für 0 ≤ x ≤ 1 und f(x) = -1 für x>1

Weiter gilt die Anfangsbedingung y(0)=1

a) Die auf dem Intervall [0, ∞[ stetige Lösung y(x) des AWP ist zu berechnen.

b) Skizze y(x)

Answer 1

$$ \frac{dy}{dx}+y(x) =f(x) $$
zuerst mal "homogenisieren":
$$ \frac{dy}{dx}+y(x) =0 $$
$$ \frac{dy}{dx}=-y(x)  $$
$$ \frac1{y(x)}\frac{dy}{dx}=-1  $$
$$ \int \, \frac1{y(x)}\frac{dy}{dx} \, dx=-\int \,1\, dx  $$
$$ \int \, \frac1{y(x)} \, dy=-\int \,1\, dx  $$
$$ \ln(y)=-x  +C$$
$$ e^{\ln(y)}=e^{(-x  +C)}$$
$$y_H=e^{(-x) }\cdot e^C$$
$$y_H=e^{(-x) }\cdot D$$
inhomogener Lösung durch Ansatz der rechten Seite:
$$y=e^{(-x) }\cdot D+a $$
$$y'=-e^{(-x) }\cdot D $$
$$ -e^{(-x) }\cdot D +e^{(-x) }\cdot D+a =f(x) $$
$$ a =f(x) $$
$$y= D \cdot e^{(-x) }+f(x) $$

Answer 2

Du kannst nicht weiterkommen? Wo liegt denn dein Problem ?

Du hast also folgendes gegeben:
y'+y =1  für 0<x<=1

y'+y=-1 für x>1

Die einzelnen DGLs kannst du mit Trennung der Variablen auflösen:

Fürs den ersten Teil rechne ich das ausnahmsweise mal vor:

y'+y =1 

<=> y'=1-y

<=> y'/ 1-y = 1              beide Seiten nach x integrieren.

<=> ∫1/(1-y) dx = ∫1 dx

<=>  -log(1-y) = x+c

<=> 1-y =- e^{x+c}+1

<=> y = ce^-1 +1

c ausrechnen mit dem gegebenen Anfangswert.

Dann das selbe für die zweite DGL machen und die konstante so bestimmen, dass die Lösung der zweiten DGL an der Stelle 1  und in der Ableitung an der Stelle 1 die selben Werte wie die erste Lösung besitz. Dann ist die Funktion stetig.