Hast du die Definition vom Grenzwert verstanden? Ich hab mal wieder meine krassen Paint-Fähigkeiten ausgepackt und dir ein wunderschönes Bild gemalt:
Auf dem Bild ist auf der x-Achse n und auf der y-Achse \(a_n\), wobei \((a_n)_{n\in\mathbb{N}}\) eine Folge sein soll. Ein paar Punkte habe ich dir eingezeichnet. Die Folge hat den Grenzwert \(\ell\), wie eingezeichnet. Die Definition besagt nun, dass \(\ell\) wirklich ein Grenzwert ist, wenn für jedes \(\varepsilon > 0\) ein \(N\in\mathbb{N}\) gefunden werden kann, sodass für alle \(n>N\) \(|a_n - \ell | < \varepsilon\) ist. Das ist natürlich etwas kryptisch, aber dafür ist jetzt das Bild da. Diese Geschichte mit dem \(|a_n - \ell | < \varepsilon\) ist dieser "Kasten", den ich da gemalt habe. Der Kasten liegt um den Grenzwert herum.. Du musst zeigen, dass für jede beliebige Kastengröße (\(\varepsilon > 0\)), also egal wie klein oder groß das Teil ist, ein \(N\) gefunden wird, sodass alle Folgeglieder, die danach kommen, im Kasten sind. Ein beispielhaftes \(N\) habe ich dir eingezeichnet. Für \(n<N\) gibt es Folgeglieder außerhalb des Kastens, aber alle die nach \(a_N\) kommen, liegen innerhalb des Kastens, d.h. in der \(\varepsilon\)-Umgebung um den Grenzwert.
Um zu beweisen, dass man so ein \(N\) immer finden kann, muss man es konstruieren. Offensichtlich hängt \(N\) jedoch von der Kastengröße (\(\varepsilon\)) ab. Deshalb erhält man in dem Beweis, den du angegeben hast auch \(N= \frac{1}{\varepsilon} \). Warum gerade dieses \(N\)? Naja, weil es klappt^^
Deine Frage war jetzt, inwiefern dieses \(N=\frac{1}{\varepsilon}\) ein Beweis für den Grenzwert darstellt. Also alleine ist das erst mal nichtssagend, wichtig ist, was danach kommt:
Auch wenn es nicht auf deinem Bild steht, es wird danach \(n>N\) angenommen (du willst ja zeigen, dass unter dieser Bedingung \(|a_n - \ell| < \varepsilon\) gilt, also, dass die Folgeglieder im Kasten liegen). Dann wird abgeschätzt, also die vorkommenden Terme werden durch Ungleichungen nach oben beschränkt. In deinem Beispiel ist das dann so:
Der Grenzwert \(\ell\) ist 0. \(a_n = \frac{1}{n}\). Man wählt eben besagtes \(N\) und sagt, es sei \(n>N\). Dann folgt:
\(|\frac{1}{n} - 0| = \frac{1}{n} \) und da \(n>N\) gilt, ist \(\frac{1}{n} < \frac{1}{N}\) (wenn man den Zähler verkleinert, wird der Bruch größer). Und wenn du jetzt das definierte \(N\) einsetzt, erhältst du eben \(\frac{1}{n} < \frac{1}{N} = \frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}} = \varepsilon\).
D.h. das angegebene \(N\) (welches vom gegebenen Epsilon abhängt!) erfüllt für jedes Epsilon die Eigenschaft, dass für alle \(n>N\) die Folgeglieder in diesem "Epsilon-Kasten" sind.
