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Kann ich die erste Ableitung dieser Funktion so darstellen, um das Monotonieverhalten zu bestimmen?

\( f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sqrt{x}, & x \geq 0 \\ -\sqrt{|x|}, & x<0\end{array}\right. \)

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Ich komme für x<0 auf eine andere Ableitung. Allerdings gilt für x<0 auch nicht \(-\sqrt{\sqrt{x^2}}=-\sqrt{x}\), wie du geschrieben hast.

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f1(x) = √x

f1'(x) = 1/(2·√x)

f2(x) = -√(-x)

f2'(x) = 1/(2·√(-x))

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und was passiert mit dem Betrag in f2(x)?einfach weglassen?

|x| = -x wenn x < 0 

dann ist die Funktion wachsend auf  (-∞;+∞)?

Ansich würde ich mir Wünschen du kannst mal selber eine Wertetabelle machen und den Graphen skizzieren.

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Wie du auch schon geschrieben hast ist bei x = 0 die Funktion
nicht differenzierbar.

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