Bestimmen Sie die Potenzen B^{2}, B^{3}, B^{4}, B^{5} und B^{6}. (Quadratische Matrix)

Question

Für eine quadratische Matrix \( B \) definiert man die Potenzen \( B^{k} \) rekursiv als \( B^{1}=B \) und \( B^{k+1}=B^{k} \cdot B \) für alle natürlichen Zahlen \( k \). Es seien \( a, b, c, d \in \mathbb{R} \) und es sei

\( B=\left(\begin{array}{lllll} 0 & a & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & b & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & d \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \)

Bestimmen Sie die Potenzen \( B^{2}, B^{3}, B^{4}, B^{5} \) und \( B^{6} \).

Comments

Um B^2 zu berechnen, rechnet man ganz 'normal'. B * B. Das kannst du bestimmt.

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Ja mir fällt das aber mit der 5*5 matrix schwer

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Man multipliziert Zeilen mit Spalten, wie im Bild hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Matrizenmultiplikation#Definition

Egal, wie viele Spalten und Zeilen da vorhanden sind.

Bei deiner Matrix hast du den Vorteil, dass beinahe überall 0 rauskommt.

Answer 1

Um B² zu berechnen, rechnet man ganz 'normal'. B * B

Zur Kontrolle meine Resultate:

B^2= ((0,a,0,0,0),(0,0,b,0,0),(0,0,0,c,0),(0,0,0,0,d),(0,0,0,0,0))^2

=((0,0,ab,0,0),(0,0,0,bc,0),(0,0,0,0,cd),(0,0,0,0,0),(0,0,0,0,0))

B^3= ((0,a,0,0,0),(0,0,b,0,0),(0,0,0,c,0),(0,0,0,0,d),(0,0,0,0,0))^3

= ((0,a,0,0,0),(0,0,b,0,0),(0,0,0,c,0),(0,0,0,0,d),(0,0,0,0,0))^2 * ((0,a,0,0,0),(0,0,b,0,0),(0,0,0,c,0),(0,0,0,0,d),(0,0,0,0,0))

=((0,0,0,abc,0),(0,0,0,0,bcd),(0,0,0,0,0),(0,0,0,0,0),(0,0,0,0,0))

B^4= ((0,a,0,0,0),(0,0,b,0,0),(0,0,0,c,0),(0,0,0,0,d),(0,0,0,0,0))^4

=((0,a,0,0,0),(0,0,b,0,0),(0,0,0,c,0),(0,0,0,0,d),(0,0,0,0,0))^2*((0,a,0,0,0),(0,0,b,0,0),(0,0,0,c,0),(0,0,0,0,d),(0,0,0,0,0))^2

=((0,0,0,0,abcd),(0,0,0,0,0),(0,0,0,0,0),(0,0,0,0,0),(0,0,0,0,0))

B^5 = ((0,a,0,0,0),(0,0,b,0,0),(0,0,0,c,0),(0,0,0,0,d),(0,0,0,0,0))^5

= ((0,0,0,0,0),(0,0,0,0,0),(0,0,0,0,0),(0,0,0,0,0),(0,0,0,0,0)) = B^6