Bestimmen Sie die Potenzen B2, B3, B4, B5 und B6. (Quadratische Matrix)

Question

Für eine quadratische Matrix $B$ definiert man die Potenzen $B^{k}$ rekursiv als $B^{1}=B$ und $B^{k+1}=B^{k} \cdot B$ für alle natürlichen Zahlen $k$. Es seien $a, b, c, d \in \mathbb{R}$ und es sei

$B=\left(\begin{array}{lllll} 0 & a & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & b & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & d \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$

Bestimmen Sie die Potenzen $B^{2}, B^{3}, B^{4}, B^{5}$ und $B^{6}$.

Comments

Um B² zu berechnen, rechnet man ganz 'normal'. B * B. Das kannst du bestimmt.

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Ja mir fällt das aber mit der 5*5 matrix schwer

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Man multipliziert Zeilen mit Spalten, wie im Bild hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Matrizenmultiplikation#Definition

Egal, wie viele Spalten und Zeilen da vorhanden sind.

Bei deiner Matrix hast du den Vorteil, dass beinahe überall 0 rauskommt.

Answer 1

Um B² zu berechnen, rechnet man ganz 'normal'. B * B

Zur Kontrolle meine Resultate:

B²= ((0,a,0,0,0),(0,0,b,0,0),(0,0,0,c,0),(0,0,0,0,d),(0,0,0,0,0))²

=((0,0,ab,0,0),(0,0,0,bc,0),(0,0,0,0,cd),(0,0,0,0,0),(0,0,0,0,0))

B³= ((0,a,0,0,0),(0,0,b,0,0),(0,0,0,c,0),(0,0,0,0,d),(0,0,0,0,0))³

= ((0,a,0,0,0),(0,0,b,0,0),(0,0,0,c,0),(0,0,0,0,d),(0,0,0,0,0))² * ((0,a,0,0,0),(0,0,b,0,0),(0,0,0,c,0),(0,0,0,0,d),(0,0,0,0,0))

=((0,0,0,abc,0),(0,0,0,0,bcd),(0,0,0,0,0),(0,0,0,0,0),(0,0,0,0,0))

B⁴= ((0,a,0,0,0),(0,0,b,0,0),(0,0,0,c,0),(0,0,0,0,d),(0,0,0,0,0))⁴

=((0,a,0,0,0),(0,0,b,0,0),(0,0,0,c,0),(0,0,0,0,d),(0,0,0,0,0))²*((0,a,0,0,0),(0,0,b,0,0),(0,0,0,c,0),(0,0,0,0,d),(0,0,0,0,0))²

=((0,0,0,0,abcd),(0,0,0,0,0),(0,0,0,0,0),(0,0,0,0,0),(0,0,0,0,0))

B⁵ = ((0,a,0,0,0),(0,0,b,0,0),(0,0,0,c,0),(0,0,0,0,d),(0,0,0,0,0))⁵

= ((0,0,0,0,0),(0,0,0,0,0),(0,0,0,0,0),(0,0,0,0,0),(0,0,0,0,0)) = B⁶