Monotonie einer Funktion: Musterlösung seltsam

Question

gegeben ist$$f(x)=(x-3)^2-5$$In welchen Bereichen ist die Funktion streng monoton wachsend und streng monoton fallend?

Erste Ableitung grösser Null, nach x auflösen ergibt:$$x>3$$

Erste Ableitung kleiner Null, nach x auflösen ergibt:$$x<3$$Folglich:Für$$ ]-\infty; 3[$$ streng monoton fallend und für $$]3;\infty[$$ streng monoton wachsend.

Nun behauptet die Musterlösung aber, dass die 3 jeweils mit dabei ist (geschlossenes Intervall). 

Wieso bitte? Wenn ich streng nach Vorschrift vorgehe, dass die Ableitung grösser oder kleiner Null ist, dann kann ich kaum auf das kommen.

Answer 1

Das könnte wieder eine Diskussion geben.

Früher hätte ich gesagt

von -∞  bis ausschließlich 3 < 0 also fallend
x = 3 ist der Extrempunkt : weder steigend noch fallend
von ausschließlich 3 bis ∞ > 0 : also steigend

Mitunter / oder sogar richtiger wird gesagt

von -∞  bis einschließlich 3 ist der Funktionswert jedes Folgewerts
kleiner als der vorherige:
( x > x0 ) und ( f ( x ) < f ( x0 ) ).
Dies gilt auch für x = 3. Dieser Punkt  ist der letzte Punkt  im
fallenden Teil.

So könnte man argumentieren. Dann würde auch gelten
von einschließlich 3 bis ∞ ist der Funktionswert jedes Folgepunkts
größer.

Diese Argumentation führt allerdings dazu das das x = 3 sowohl
zum fallenden Teil als auch zum steigenden Teil gehört.

So. Besprich den Sachverhalt am besten im Unterricht.

Comments

Eigentlich sollte das keine Diskussion geben. ;-)
(Strenge) Monotonie ist eindeutig definiert, und nach dieser Definition ist die richtige Antwort klar.

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Hallo Georg,

das habe ich jetzt verstanden. Besten Dank.

Answer 2

\(f'(x)>0\) ist hinreichend dafür, dass die Funktion streng monoton wachsend ist, aber nicht notwendig.

Wenn eine Funktion auf einem Intervall \(I\) streng monoton wachsend ist, dann bedeutet das laut Definition folgendes:
Für alle \(x_1, x_2\in I\) gilt: Falls \(x_1<x_2\) ist, dann ist auch \(f(x_1)<f(x_2)\).

Und das ist bei deiner Funktion für das Intervall \([3,\infty)\) erfüllt. Deswegen ist die Funktion dort streng monoton wachsend.

Comments

Ich verstehe. Besten Dank!

(Höchstens mit den Begriffen "hinreichend" und "notwendig" bin ich nicht so vertraut, was wäre denn bitte eine notwendige Bedingung für strenges monotones Wachstum? "Hinreichend" heisst ja, soweit ich weiss, dass diese Bedingung "ausreichend" ist.)