Monotonie einer Funktion sowie deren Ableitung zeigen

Question

ich soll die Monotonie einer Funktion zeigen. Hier erstmal die Aufgabe:

Die Ableitung der Funktion lautet ja: f'(x) = 2/(2+x)^2

Und rein vom sehen her, ist die Funktion ja monoton wachsend, da der Bruch immer größer wird. Und bei f' wächst der Nenner deutlich schneller als der Zähler und damit läuft die Funktion gegen 0, also monoton fallend. Und mit dem folgern habe ich auch bereits geschafft. Aber wie zeige ich das ordentlich mathematisch mit der Monotonie?

Liebe Grüße

Answer 1

Die Funktion f:[0, ∞[ → ℝ ist auf ihrem ganzen Definitionsbereich differenzierbar und ihre Ableitung positiv, also ist sie streng monoton steigend.

Comments

Die Antwort ist meiner Meinung nach nicht richtig.
Man muß die Fragestellung sehr genau lesen um die
Frage zu verstehen. Siehe meine Antwort.

mfg Georg

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Warum ist die Antwort deiner Meinung nach nicht richtig? Immerhin hast du ja genau diesen Lösungsweg selber in deiner Antwort verwendet.

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Stimmt.
jd1355 hat auf den ersten Teil der Frage eine richtige
Antwort gegeben.
Ich war schon einen Schritt weiter und habe es schon teilweise
auf die Ableitungsfunktion bezogen.

Answer 2

f ( x ) = x / ( x + 2 )

~plot~  x / ( x + 2 ) ; [[ 0 | 10 | 0 | 1 ]] ~plot~

Wie man sieht ist die Funktion f streng monoton steigend

Die Ableitung der Funktion ist
f ´( x ) = 2 / ( x +2 )^2

~plot~ 2 / ( x + 2)^2 ; [[ 0 | 10 | 0 | 1 ]] ~plot~

Wie man sieht ist die Funktion f ´streng monoton fallend

Man muß die Fragestellung sehr genau lesen um die
richtige Antwort zu finden.

f ( x ) = x / ( x + 2 )
f ´( x ) = 2 / ( x +2 )^2
Die Funktion f ist steigend wenn die 1.Ableitung > 0 ist
2 / ( x +2 )^2  > 0  | * Nenner. Dieser als als Quadrat stets > 0
2 > 0
Stets. Die Funktion f ist stets steigend.

Ableitungsfunktion
f ´( x ) = 2 / ( x +2 )^2
f ´´ ( x ) = -4 / ( x +2 )^3
Die Funktion f ´ist fallend wenn die nächste Ableitung < 0 ist
-4 / ( x +2 )^3  < 0 | * Nenner, dieser ist im Def-Bereich > 0
-4  < 0
Stets. Die Ableitungsfunktion f ist stets fallend.