Monotonie von Funktion über deren Ableitung bestimmen

Question

Aufgabe:

Ich habe hier ein kleines Verständnisproblem. Und zwar hatten wir in der Vorlesung folgende Aussage:

f(x) streng monoton wachsend <=> f'(x) > 0

ABER

f'(x) streng monoton wachsend <= f''(x) > 0

Warum gilt bei der zweiten Aussage die Umkehrung nicht? Kann bitte jemand helfen? ;)

Problem/Ansatz:

Answer 1

f(x) streng monoton wachsend <=> f'(x) > 0

Das ist eher unüblich.

Üblicherweise besagt der Monotoniesatz: "Ist f ' (x) > 0 für jedes x im Definitionsbereich von f, dann ist f streng monoton wachsend."

Warum gilt bei der zweiten Aussage die Umkehrung nicht?

Zum Beispiel weil f'(x) = x³ ⇒ f''(x) = 3x² ⇒ f''(0) = 0 \(\ngtr\) 0 obwohl f'  streng monoton wachsend ist.

Comments

Ok sehe ich ein.

Aber sollte dann mit dem selben Argument die erste Aussage nicht ebenfalls keine Äquivalenz sein?

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Richtig, sollte ebenfalls keine Äquivalenz sein.

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Ok, danke dir für die Antwort.

Answer 2

f(x) streng monoton wachsend <=> f'(x) > 0

Das ist falsch.