Lokale bzw. globale Extremas bestimmen, f(x)=1/2 tan^2(x)+ln(cos(x))

Question

Wir sollen die lokalen/globalen Extrema und den Definitionsbereich dieser Funktion bestimmen.

$$ f(x)= \frac { 1 }{ 2 } { tan }^{ 2 }(x)+ln(cos(x)) $$ Wenn ich den lim von f bestimme, folgt doch daraus, dass es kein globales Max gibt,  und kein lokales Max . gibt, da der Dbereich und der Wbereich nicht def. sind.

$$ \underset { x\rightarrow +\infty /-\infty  }{ lim } f(x) = +\infty $$ Aufgrund eines Graphen, weiß ich dass es Minima bei 0 gibt, jedoch kann ich sie nicht rechnerisch bestimmen.

$$ f'(x)=(\frac { 1 }{ cos(x) } )^{ 2 }\cdot tan(x)-\frac { sin(x) }{ cos(x) }  $$

f'(x)=0

(1/cos(x))^2 ≠0

tan(x)  →  x=k*π

sin(x)/cos(x)  → x=k*π , nun komme ich irgendwie nicht mehr weiter, auch nicht beim Bestimmen des Dbereich.

Könnte mir da jemand weiterhelfen?

Answer 1

Ich empfehle mal zunächst den Definitionsbereich zu behandeln:

Da der tan der Quotient aus sin durch cos ist, darf der cos niemals Null werden, weil sonst durch Null dividiert wird und das wär ja blöd. Also welche x spielen nicht mit ?

Dann schauen wir mal nach dem ln ... da darf das Argument niemals null werden - das passiert aber wenn der cos null wird, also ...

Die Nullstelle der Ableitung ist auch nicht sooo schwierig:

$$ f(x)= \frac { 1 }{ 2 } { tan }^{ 2 }(x)+ln(cos(x)) $$
$$ f'(x)=  { \tan (x) } \cdot \frac  {1}{\cos^2(x)}  +\frac1{cos(x)}\cdot (-\sin(x)) $$
$$ f'(x)=  { \tan (x) } \cdot \frac  {1}{\cos^2(x)}  -\frac{\sin(x)}{\cos(x)} $$
$$ f'(x)=  { \tan (x) } \cdot (1+{\tan^2(x)})  -\tan(x) $$
$$ f'(x)=   \tan (x) +\tan^3(x)  -\tan(x) $$
$$ f'(x)=   \tan^3(x)  $$
$$ f'(x)=   0 $$
$$ 0=   \tan^3(x) $$
$$ 0=   \tan(x)  $$

Comments

alternativer Ansatz zur Nullstellenermittlung der Ableitung:

$$ f'(x)=(\frac { 1 }{ cos(x) } )^{ 2 }\cdot tan(x)-\frac { sin(x) }{ cos(x) } $$
$$ f'(x)=(\frac { 1 }{ \cos(x) } )^{ 2 }\cdot \tan(x)-\tan(x) $$
$$ f'(x)=\left(\frac { 1 }{ \cos^2(x) }-1 \right)\cdot \tan(x) $$
$$ 0=\left(\frac { 1 }{ \cos^2(x) }-1 \right)\cdot \tan(x) $$
$$ 0= \tan(x) $$
damit hätten wir schonmal eine Basisnullstelle
$$ 0=\frac { 1 }{ \cos^2(x) }-1 $$
$$ 1=\frac { 1 }{ \cos^2(x) } $$
$$ \cos^2(x)=1 $$
$$ \cos(x)=1 $$
und das wäre der nächste Kandidat - obwohl ...