Differentialgleichung 2. Ordnung = e^x

Question

Ich sitze vor folgender Aufgabe:
y'' + 4y'+4y = e^x

Ich sehe sofort,dass 1/9e^x diese Gleichung löst.

Genauso wie bei:

y''-2y'+5y = e^x

Auch hier sehe ich,dass 1/4 e^x die Gleichung löst.

Aber wie gehe ich formal richtig an diese Aufgaben ran?

Kann mir jemand das vielleicht an einem der Beispiele vorrechnen?

Oder gibt es irgendwelche Sätze mit denen man direkt begründen kann, dass y''=y'=y in diesem Fall gilt?

Oder gibt es noch andere mögliche Lösungen?

Comments

http://www.mi.uni-koeln.de/~flapp/dgl_skript_ws_14_15.pdf

Satz 4.3.10 (Seite 62 im PDF) liefert dir eine partikuläre Lösung. Die homogene Gleichung zu lösen ist ja leicht und dann musst du ja nur noch beides kombinieren.

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Die Vorlesung höre ich. Nur verstanden habe ich das im Skript nicht so ganz. Die vorgehensweise aus der anderen Antwort habe ich bis auf dem, was ich nochmal nachgefragt habe verstanden.

Answer 1

ich hab mal für Dich diese Aufgabe gerechnet:

y'' + 4y'+4y = e^x

Ich sehe sofort,dass 1/9e^x diese Gleichung löst.----->Naja ganz so einfach ist es nicht.

Da steckt ein bisschen mehr dahinter.

Aber wie gehe ich formal richtig an diese Aufgaben ran? so wie ich es tat

Sowas lernst Du beim Studium auf der UNI oder vielleicht woanders.

:-)

Comments

Also berechnest du erst eine allgemeine Lösung der homogenen Gleichung.

Das verstehe ich auch .

Was genau meinst du mit Tabelle?

Die Gesamtlösung setzt sich dann aus der allgemeinen der Homogenen+der partikulären Lösungen der Inhomogenen.

Wie komme ich auf den Ansatz, bei der partikulären Lösungen der inhomogenen Gleichung.

Habe durch Recherche gefunden, dass man den Ansatz y_p=A*e^{cx} wählt wenn c keine Lösung der charakteristischen Gleichung ist. (y_p=Ax*e^{cx} ,falls c eine einfache Lösung ist, y_p=Ax^2*e^{cx} , falls c eine doppelte Lösung ist). Ich verstehe nicht genau was mit c gemeint ist. Ist das hier das gewählte k? . Dann würde es doch enie doppelte Lösung geben und der Ansatz wäre falsch.

Den Rest habe ich verstanden.

Danke fürs helfen :)

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Was genau meinst du mit Tabelle?

Es gibt zur Bestimmung von y(h)und y(p) eben diese Tabellen.

z.B. diese

http://micbaum.y0w.de/uploads/LoesungsansaetzeDGLzweiterOrdnung.pdf

In unserem Fall gehst Du auf Seite 2 in die beiden Tabellen und kommst sofort auf

das Ergebnis oder den Ansatz.

Wie komme ich auf den Ansatz, bei der partikulären Lösungen der inhomogenen Gleichung.

->auch mit dieser Tabelle.

Du kannst den Ansatz für y(p) auch mit der Formel

y(p)= c* x^k*e^ax) bestimmen

a= ist Aplha

Ist egal, mit welcher Methode.