Tank mit Zufluss- und Abflussleitung: Wie viel befindet sich nach 2 Stunden im Tank? (Integralrechnung)

Question

Aufgabe:

Ein Tank besitzt eine Zufluss- und eine Abflussleitung. In Figur 1 sind die dazugehörigen momentanen Durchflussraten dargestellt. Zu Beginn sind 2 Liter im Tank. Wie viel befindet sich nach 2 Stunden, nach 4 Stunden, nach 6 Stunden und nach 8 Stunden im Tank?

Ansatz/Problem:

Muss ich dort mir von 0 bis 2 ein Dreieck ausdenken und dann den Flächeninhalt berechnen? Wäre meine Vermutung.

Comments

Bestimme die Differenz der Fläche unter dem Zuflussgraphen und der Fläche unter dem Abflussgraphen im betrachteten Zeitabschnitt und addiere das Ergebnis zu dem (unbekannten) bisherigen Tankinhalt.

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Steht alles bereits in der Antwort zu der Frage hier: https://www.mathelounge.de/528188/was-ist-mit-von-der-anderungsrate-zur-gesamtanderung-gemeint

$$ \text{Volumen zum Zeitpunkt $T$}-\text{Volumen zum Zeitpunkt $0$} $$

$$=\int_0^T(\text{Zuflussrate zum Zeitpunk $t$}-\text{Abflussrate zum Zeitpunk $t$})\,dt$$

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Nach 2 stunden gibt es 2 Dreiecke

kann ich das 1 dreieck - 2 dreieck machen also beide vorher ausrechen

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Da das Integral linear ist, gilt $$\int_0^T(\text{Zuflussrate zum Zeitpunkt $t$}-\text{Abflussrate zum Zeitpunkt $t$})\,dt$$ $$=\int_0^T(\text{Zuflussrate zum Zeitpkt $t$})\,dt-\int_0^T(\text{Abflussrate zum Zeitpkt $t$})\,dt,$$ falls Du das meinst.

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Befinden sich also nach 2 Stunden 2,5 Liter?

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Deine Formulierung ergibt keinen Sinn. Abgesehen davon koennte ein wahrer Kern enthalten sein. In den Tank ist in den zwei Stunden ein Liter reingeflossen und ein halber Liter rausgeflossen. Ergibt netto ein Plus von einem halben Liter.

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Zu beginn sind doch 2 Liter im Tank +0,5 sind doch 2,5 l ,ist doch richtig

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"Befinden sich also nach 2 Stunden 2,5 Liter?" ist ein Satz ohne Sinn, es fehlt die Haelfte. Dass das richtige Ergebnis drin vorkommt, macht die Sache nicht besser.

Answer 1

schreibe doch mal die Zufluss- und Abflussfunktionen hin. Wenn Du das hast, kannst Du folgendes Integral für die Werte \(  t = 2, 4, 6, 8 \) berechnen

$$ f_{Füllstand}(t) = \int_0^t \left( z_{Rate}(x) - a_{Rate}(x) \right) dx $$

wobei \( z_{Rate}(t) \) = Zuflaussrate und \( a_{Rate}(t) \) = Abflussrate sind.

Comments

Wenn man die Integration ausführt kommt man auf folgendes Ergebnis

$$ f_{Füllstand}(t) = \begin{cases} \frac{1}{8}t^2 , & \text{wenn  } 0 \le t \le 4 \\ -\frac{3}{8}t^2+4t-8 , & \text{wenn  } 4 \le 8 \le 4 \end{cases} $$ Und das sieht so aus.

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wie bestimmt mn denn die Zufluss und Abflussfunktion ?

Answer 2

Allgemeine Formel: vgl. ullims Antwort. Formal stellst du die Geradengleichungen auf und integrierst mit geeigneten Grenzen.

Konkrete Rechnung mit Dreiecksflächen (Dreiecke = halbe Rechtecke) unter deinen Graphen:

Erste 2 Stunden

Zufluss (2 h*1m^3/h)/2 = 1 m^3

Abfluss (2 h*1/2 m^3/h) / 2 = 0.5 m^3

Im Tank nach 2 h: 1m^3 - 0.5 m^3 = 0.5 m^3

Erste 4 Stunden

Zufluss (4 h*2m^3/h)/2 = 4 m^3

Abfluss (4 h*1 m^3/h) / 2 = 2 m^3

Im Tank nach 4 h: 4 m^3 - 2m^3  = 2 m^3

Erste 6 Stunden (Symmetrie ausnützen)

Zufluss = Zufluss nach 4 h + Zufluss in den 2. 2h = 4m^3 + (4-1)m^3 = 7m^3

Abfluss (6 h*3/2 m^3/h) / 2 = 4.5 m^3

Im Tank nach 6 h: 7m^3 - 4.5m^3 = 2.5 m^3

Erste 8 Stunden (Symmetrie ausnützen)

Zufluss= 2*( in ersten vier Stunden) = 8m^3

Abfluss (8 h*4/2 m^3/h) / 2 = 8 m^3

Im Tank nach 8 h: 8m^3 -8m^3 = 0 m^3

Nach 8 h ist der Tank wieder leer.

Comments

Vielen Dank für die sehr ausführliche Anwort, insbesondere die Vorrechnung war sehr Hilfreich (da ich ein Referat zu dem Thema halten soll und es sehr hilft korrekte Antworten zur Absicherung zu haben)

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Bitte. Gern geschehen!

Allerdings: Ohne nachrechnen darfst du nicht davon ausgehen, dass meine Antworten "sicher richtig" sind.

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Du solltest bei Deiner Ausarbeitung beachten, dass der Aufgabe an keiner Stelle zu entnehmen ist, dass der Tank anfangs leer war... die vorgerechneten Lösungen unterstellen aber ganau dieses. Als Lehrer wäre mir dieser Umstand eine Nachfrage wert und als Referent müsstest Du deine Ergebnisse entsprechend interpretieren können!

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Ich habe alle Antworten noch einmal nachgerechnet und komme nach deiner Erläuterung auch auf diese Lösungen... der Tank war zu Beginn tatsächlich leer, so das dies die Antwort auch nicht verfälscht hat, ich habe nur vergessen es zu erwähnen. Vielen Dank nochmal

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Hi, muss man nicht noch die 2 L von Beginn an drauf rechnen?

Somit wären es doch nach 2h 2,5l

nach 4h 4l usw

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Richtig. Deswegen ist diese Antwort auch falsch.

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Richtig. (...)

Das ist ein wenig zu allgemein.

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Aber woher soll man denn wissen, dass 2 Liter = 0.002 m³ sind?

Also 1 m3 ≠ 1 Liter, oder?

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Also 1 m^3 ≠ 1 Liter, oder?

Ja, das ist richtig.

Man darf auch wissen, dass 1 Liter auch als 1 dm^3 notiert werden kann.

Außerdem entspricht 1 m^3 genau 1000 dm^3.

Answer 3

Ja, du musst am Ende durchaus m³ in Liter umrechnen.

Prinzipiell verstehe ich die Aufgabe und weiß was ich machen muss,

Dann bilde die erforderlichen bestimmten Integrale.

Comments

Dann bilde die erforderlichen bestimmten Integrale.

Ich glaube nicht das die Aufgabe darauf hinaus will. Hier sollen sicher nur die Flächen zwischen den Funktionen und der x-Achse mit einfachen geometrischen Mitteln bestimmt werden.

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Da die Fragestellerin vor ca. 2 Monaten eine Frage zum Themengebiet "Anwendung der Differenzialrechnung" gestellt hat, ist eine jetzige Behandlung der Integralrechnung inzwischen durchaus vorstellbar.

Answer 4

Das siehst du mal wie bekloppt mache Aufgabensteller sind. Sicher sollten das in der Aufgabe statt 2 Liter einfach 2 m³ lauten.

Aber wir als Schüler wandeln mal die 2 Liter um

2 Liter = 0.002 m³

Also

Answer 5

nach 2 Std
Zufluß - Dreieck - Fläche :
( 2 h * 1 m^3 / h ) / 2 = 1 m^3
Abfluß - Dreieck - Fläche :
( 2 h * 1/2 m^3 / h ) / 2 = 1/2 m^3

Zufluß minus Abfluß = 1/2 m^3

2 ( 0.002 m^3 ) Liter zu Beginn muß noch hinzuaddiert
werden = 0.502 m^3

Allerdings kommen mir 2 Liter reichlich wenig vor.

Frag nach wie es weitergeht.
Du mußt nur die Flächen unterhalb der
Geraden richtig berechnen

Zwischen 0 und 4
4 * 2 / 2  = 4 m^3
4 * 1 / 2 = 2 m^3