Horizontale Streckung eines Kosinus

Question

Ich soll die Funktion y = cos(x) in x-Richtung mit dem Faktor 0.5 strecken und um 3 in y-Richtung verschieben. Während letzteres kein Problem darstellt, so habe ich "Nachvollziehbarkeits-Schwierigkeiten" bezüglich strecken. In der Lösung steht y = cos(2x) + 3.

"2" hört sich nach einer Streckung an, aber 0.5 ist für mich eine Stauchung. Diese beiden Begriffe bereiten mir Schwierigkeiten.

Hierzu noch ein Auszug aus meinem Skriptum:

$$y=(bx)^n$$ Für die Bestimmung des y-Wertes wird x durch bx ersetzt, d.h. x wird der Funktionswert von bx zugeordnet. Das ergibt eine Streckung längs der y-Achse (in x-Richtung) mit dem Faktor$$ \frac {1}{b}$$. Der Faktor b verändert die Form.

Dies verwirrt mich noch mehr, wieso steht zuerst y = (bx)^n, während später von einem Bruch 1/b gesprochen wird?

Answer 1

\(\cos(2x)\) durchläuft auf \([0,2\pi]\) 2 Schwingungen, während \(\cos(x)\) nur eine durchläuft. Somit wird eine Streckung der Funktion mit dem Faktor 0,5 erzielt (2 Schwingungen werden in ein Intervall gedrückt, in dem vorher nur eine Schwingung statt fand).

Allgemein kann man sagen, dass eine Streckung um den Faktor \(\frac{1}{b}\) der Funktion \(\cos(x)\) bedeutet, dass \(b\) Schwingungen der Funktion in einem Intervall auftreten, in dem vorher 1 Schwingung statt fand. Dies entspricht der Funktion \( \cos(bx)\).

Lass dich nicht von dem Begriff Streckung irreführen. Eine Streckung mit einem Faktor zwischen 0 und 1 entspricht semantisch zwar einer Stauchung, aber den Begriff benötigt man nicht wenn die Streckung allgemein definiert ist.

Edit: Habs mal deinem Skriptum angepasst.

Gruß

Comments

zunächst besten Dank für Deine Antwort!

Kurz mal zusammengefasst: Also im Prinzip entspricht cos(2x) einer semantischen Stauchung gegenüber der Normalfunktion, denn jetzt passen zwei Schwingungen in das Intervall, in welchem vorher eine Schwingung war. Ich nehme an, dass dann umgekehrt für cos(x/2) gilt, dass wir nur eine effektive Streckung haben, das heisst, jetzt passt aber nur noch eine halbe Schwingung in das betrachtete Intervall. So weit so richtig, bitte?

Gut, das heisst, wenn man eine Aufgabe mit irgendeinem Streckungsfaktor hat, zum Beispiel 0.5, dann überlegt man sich am besten zuerst, wie dieser umgewandelt im Format 1/b ausschaut. In diesem Fall ist das 1/2. So, und jetzt weiss ich gemäss Deinen Ausführungen, dass 1/b Streckung der Funktion cos(bx) entspricht, folglich cos(2x). Soweit so korrekt bitte?

Wenn jetzt stehen würde: "Strecken sie cos(x) in x-Richtung mit dem Faktor 2."

Dann überlege ich: Wie erlange ich die Form 1/b? 2 = 2/1 = 1 / 1/2, b scheint gleich 1/2 zu sein, also: cos(x/2)

So richtig bitte?

Ich weiss echt nicht, wieso mir das so gedankliche Mühe bereitet. Die vertikale Streckung ist ganz leicht, doch der Faktor 1/b verwirrt mich etwas.

---

Deine Ausführungen sind alle korrekt :)

---

Super. (:

Dann eigentlich nur noch eine Frage: Was ist denn mit "längs" der y-Achse im Skriptum gemeint? Sowas wie "der y-Achse entgegen"? "Entlang" kann es ja nicht sein, denn es ist ja eher eine Streckung "entlang" der x-Achse.

---

Der Abstand der Punkte der Funktion zur y-Achse sind ja grade die x-Werte der Punkte. Deswegen ist die Streckung bezüglich der y-Achse aufzufassen. Kannst ja dasselbe auch mit ner anderen Funktion verdeutlichen:

\( f(x) = x^2 \) also die Normalparabel. Streckung mit dem Faktor 0,5 in horizontaler Richtung entspricht der Funktion

\( g(x) = (2x)^2 = 4x^2 \).

Nimm einen beliebigen Punkt auf \(f(x)\). Zum Beispiel: \(P = (3/9) \). Der Abstand zur y-Achse ist ja \(3\). Wenn wir jetzt die Strecke von \((0/9)\) zu \((3/9)\) um den Faktor 0,5 strecken (bzw. stauchen) landet \(P\) auf \(P' = (1,5/9)\). Dieser Punkt liegt auf \(g(x)\). Deswegen ist ja \(g(x)\) auch die Streckung von \(f(x)\) um den den Faktor 0,5 bezüglich der y-Achse in x-Richtung.

Auf der anderen Seite ist ja die Vertikale Streckung mit einem Faktor \(a\) (also in y-Richtung) bezüglich der x-Achse. Deswegen reicht es die Funktion mit dem Faktor \(a\) zu multiplizieren.

Gruß

---

Herzlichen Dank für die ausführliche Lösung, das verstehe ich jetzt (hoffentlich bis in alle Ewigkeit). (:

Gerne würde ich Deine Antwort als Beste auszeichnen, leider seh' ich den Button aber nicht. Dieses Problem habe ich schon länger, dass der Button manchmal da ist und manchmal nicht. Weiss nicht, an was es liegt. :(

---

Kein Problem, wenn du es verstanden hast dann ist es Belohnung genug ;)

Answer 2

Der Sachverhalt :

cos ( 0.5 * x )  Streckung
cos ( x ) normal
cos ( 2 * x ) Stauchung

Der Effekt ist also genau andersherum als vermutet.
Mal 2 hört sich nach Streckung an. Wenigstens für mich.

Es ist folgender Sachverhalt gegeben

Bei cos ( 2 * x ) wir durch einsetzen von x = 1 der Funktionswert
für cos ( 2 ) zutreffend. Das heißt ein auf der x-Achse
weiter entfernter Wert, hier 2, wird für x = 1 zutreffend.

Dies gilt für alle Punkte. Damit hole ich alle Punkte zurück.
Es ergibt sich  eine Stauchung der  Kurve.

Merke :
während in y - Richtung ( vertikal ) tatsächlich

0.5 * cos ( x ) eine Stauchung
cos ( x ) normal
2 * cos ( x ) eine Streckung bedeutet

ist dies innerhalb einer sin / cos Funktion genau umgekehrt.

mfg Georg

Comments

Merci Georg, das macht so total Sinn. :O