Untersuchen Sie folgende Funktionen auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie folgende Funktionen auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit:

a) \( f_{k}: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}: x \mapsto\left\{\begin{array}{ll}x^{k} \sin \left(\frac{1}{x}\right), & \text { falls } x \neq 0, \\ 0, & \text { falls } x=0,\end{array} \quad\right. \) für \( k \in \mathbb{N} \).

b) \( g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto|x| \sqrt{|x|} \).

Ansatz/Problem:

Es geht um die Aufgabe a). Ich habe bereits die Stetigkeit bewiesen. Allerdings weiß ich nicht wie ich die Differenzierbarkeit für x≠0 zeigen soll. Habe es über den Differenzenquotient versucht, bin damit aber nicht wirklich weitergekommen. x^k ist differenzierbar, sin(x) ist differenzierbar und 1/x ist ebenfalls differenzierbar für alle x≠0. Nun habe ich ja eine Verkettung und ein Produkt. Folgt daraus, dass die Funktion f_k differenzierbar in x≠0 ist?

Wenn ich den Fall x=0 betrachte, sehe ich, dass die Funktion für alle k≥2 differenzierbar ist. Gilt dieser Ausnahmefall für k=1 ebenfalls bei x≠0?

Answer 1

Ich habe bereits die Stetigkeit bewiesen. Allerdings weiß ich nicht wie ich die Differenzierbarkeit für x≠0 zeigen soll. Habe es über den Differenzenquotient versucht, bin damit aber nicht wirklich weitergekommen. x^k ist differenzierbar, sin(x) ist differenzierbar und 1/x ist ebenfalls differenzierbar für alle x≠0. Nun habe ich ja eine Verkettung und ein Produkt. Folgt daraus, dass die Funktion f_k differenzierbar in x≠0 ist?
Genau !
Wenn ich den Fall x=0 betrachte, sehe ich, dass die Funktion für alle k≥2 differenzierbar ist. Gilt dieser Ausnahmefall für k=1 ebenfalls bei x≠0?
Nein, für x ungleich 0 kannst du genauso argumentieren wie oben. Im Fall k=1 ist
es außer für x=0 überall diff.

Comments

Alles klar, danke :)
Reicht diese Formulierung als Begründung:
x^k und sin(x) sind differenzierbar für alle x∈ℝ und (1/x) ist für alle x≠0 differenzierbar. Da f_k das Produkt aus x^k und der Verkettung sin(1/x) ist, ist die Funktion somit differenzierbar für alle x≠0.