Gleichmässige oder punktweise Konvergenz sowie Grenzfunktion einer Funktionenfolge

Question

Hier ist eine Funktionenfolge, die ich auf punktweise und gleichmässige Konvergenz untersuchen muss und dann noch die Grenzfunktion bestimmen:

\( f_{n}:[0,1] \rightarrow R \)

\( x \rightarrow \frac{x^{2}\left(n+x^{n-1}\right)}{n+1} \)

Answer 1

für einen beliebiges \(x \in [0,1] \) kommt man schnell durch Grenzwertbetrachtung auf eine mögliche Grenzfunktion \( f(x) = x^2 \). (Hier hat man im Grunde schon die pktw. Konvergenz gezeigt)

Jetzt zeigt man, dass \((f_n)_n\) gleichmäßig auf dem Definitionsbereich gegen \(f\) konvergiert. Die punktweise Konvergenz folgt spätestens jetzt unmittelbar.

Gruß