Question

Geben Sie für die folgenden quadratischen Formen eine Transformation an, die die quadratische auf Diagonalform bringt. Geben Sie auch die resultierende Diagonalform an.

\( \begin{array}{l} q: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}, \quad q(\boldsymbol{x})=x_{1}^{2}+6 x_{1} x_{2}+12 x_{1} x_{3}+x_{2}^{2}+4 x_{2} x_{3}+4 x_{3}^{2} \\ q: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}, \quad q(\boldsymbol{x})=4 x_{1}^{2}+4 x_{1} x_{2}+4 x_{1} x_{3}+4 x_{2}^{2}+4 x_{2} x_{3}+4 x_{3}^{2} \end{array} \)

Comments

Dir ist klar wie man das in Matrixform überführt? Sieht für die erste so aus:

$$\begin{pmatrix}1&3&6 \\ 3&1&2 \\6&2&4 \end{pmatrix}$$

Nun müsste man doch nur noch die Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmen und kann so die Transformationsmatrix bestimmen, nicht?

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Und was kommt dann als Eigenwert bzw. Eigenvektor raus?!

Answer 1

Die erste Quadrik lässt sich, wie Unknown bereits schrieb, als

$$ p(x)=x^TAx $$ mit $$ A=\begin{pmatrix}  1 & 3 & 6 \\ 3 & 1 & 2\\ 6&2&4 \end{pmatrix} $$ schreiben (mach Dir das klar!).

Sei nun U eine Matrix, die als Spalten ein Orthonormalsystem von Eigenvektoren von A enthält. So  lässt sich eine Diagonalmatrix B mit B=U^T*A*U angeben, welche in der Diagonale die Eigenwerte von A (also B=diag(λ₁,λ₂,λ₃) ) enthält.

Die Transformationsmatrix ist also U, die Resultierende ist B. (so, wie ich es verstehe)

Für die Lösung zäumst Du das Pferd von hinten auf, da Du für die Eigenvektoren zuerst die Eigenwerte benötigst.

Die Eigenwerte errechnest Du aus det(A-λE)=0. Das geht hier mit Sarrus oder eleganter mit der Entwicklung nach Laplace. (Das solltest Du händisch machen, denn Eigenwerte muss man einfach können) Die Eigenwerte sind 0,10,-4. Für jeden Eigenwert löst Du nun das GLS (A-λ_i E)v_i=0 und ermittelst damit die Eigenvektoren v_i. Nun normierst Du die Eigenvektoren indem Du sie mit dem Skalar 1/Ι v_i Ι multiplizierst. Es sind für die Eigenwerte in genannter Reihenfolge die normierten EV:

1/√5*(0 -2 1)^T

1/√70*(5 3 6)^T

1/√14*((-3 1 2)^T

Damit kannst Du nun U und B angeben.

Answer 2

Für die Eigenwerte setzt du die Determinante von
A - x*E = 0
also Determinante von
1-x    3       6
3      1-x     2                 =  x*(x^2-6x-40) = 0
6       2      4-x

Das gibt als Eigenwerte 10   ,   0     und -4.

Eigenvektoren

zu 0   alle Vektoren mit (0 , -2 , 1)*t

zu 10   alle Vektoren mit (5/6 , 1/2 , 1 )*t

zu -4                                   (-3/2  1/2    1)*t