Lineare Approximation von f(x) = arctan(e^3x)

Question

Bestimmen Sie mit Hilfe der linearen Approximation von f(x) = arctan(e^3x) an der Stelle x₀ = 0 einen Näherungswert für f(0.001). Geben Sie dazu den Winkel im Bogenmass an.

Wie geht man da bitte vor? Und ist die lineare Approximation gleichbedeutend mit der "Linearisierung"?

Comments

1. Schritt: Bestimme die Gleichung der Tangenten in P(0 | f(0)). y = mx + q

2. Schritt: y = 0.001*m + q berechnen. Das ist dann der Näherungswert für f(0.001)

EDIT: Wozu ihr da einen Winkel angebt, weiss ich leider auch nicht.

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Hallo Lu, 

besten Dank für Deine Hilfe. Ist also "Linearisierung" das Gleiche? Ich kenn das eben nur durch diesen Begriff.

Das heisst ja dann wohl, dass ich zuerst die Ableitung von$$arctan(e^{3x})$$bestimmen muss. Ich nehme an, dass ich dann zweimal die Kettenregel benötige. 

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bi816: zwei mal Kettenregel kommt gut.

Answer 1

lin Approx
f(x) = f(0) + f ' (0) * x

Comments

Habe ich zuerst auch so gedacht. Aber was ist denn hier mit dem Winkel in Bogenmass gemeint?

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Der Winkel im Bogenmaß ist dieser Näherungswert.

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Ach so. Das bekommt man doch linear automatisch so raus. 

War das also ein Hinweis für diejenigen, die zur Kontrolle noch f(0.001) mit dem Taschenrechner berechnen?

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oder die ihren TR auf deg eingestellt haben.

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herzlichen Dank für Deine Hilfe. Ich habe zwei Fragen: In meinem Skript fand' ich die Definition: $$f(x_0 + \triangle x) = y_0 + f'(x_0)\cdot \triangle x$$

1. Dies steht unter dem Kapitel "Linearisierung". Ist dies gleichbedeutend mit "lineare Approximation"? 

2. Was ist mit Delta x gemeint? Du machst das anscheinend nicht. 

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Genau das ist Linearisierung und wenn xo = 0 ist

und du willst den Näherungswert bei x dann ist Deltax ja immer 

Stelle des Näherungswertes - xo

hier also x - 0 = 0

Deshalb habe ich das Delta weggelassen.

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Aha aha, ich begreife.

Dann eigentlich nur noch eine Frage: Ich bestimme so näherungsweise den y-Wert, anstatt ihn über die Originalgleichung zu eruieren. Wo wird das bitte angewandt? Wenn die Originalkurve besonders komplex ist? 

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Ich habe doch noch ein Problem: Ich erhalte 1.49999325, in der Lösung steht 0.787, ich denke es liegt am Bogenmass. Der arctan liefert mir ja im Prinzip für eine Länge einen Winkel zurück. Ist mein Ergebnis in Grad?

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. Wo wird das bitte angewandt? Wenn die Originalkurve besonders komplex ist? 

oder wenn man z.B. eine Funktion und deren Ableitung an einer Stelle genau kennt

und möchte gern Werte in der Nähe dieser Stelle haben. Zum Beispiel gab

es in der VorTaschenrechnerzeit für Wurzeln, sin, cos etc. Tabellen.