Element in einer Stetigen Funktion ermitteln

Question

Sei f: [0,1] -> ℝ stetig mit f(0) = f(1) . Zeigen Sie, dass es ein x ∈[0, 0,5] gibt mit f(x) = f(x+ 0,5)

reicht es hier zu zeigen das min x von f(x) und max x von f(x) element von f ist?

sprich min x wäre hier : f(0 + 0,5 ) = 0,5 und max x : f(0,5+ 0,5) = 1

Comments

So kannst du das nicht zeigen. Also ich kann dir grade leider keinen Tipp geben,aber mit dem was du Behauptest,zeigst du die Aussage nicht.
Oder erläuter mir deine Idee.
f(0+0,5) = f(0,5)  muss nicht unbedingt = 0,5 sein .

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Meine idee war einfach wenn ich zeige das das minimum von x sowie das maximum von x elemente von f sind, so ist ,da die funktion stetig ist, auch alles dazwischen eine element von f -> behauptung

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Das hilft dir aber nicht viel weiter. Bzw. du willst jetzt sagen, dass Min x = 0 Element von f(x) ist.
Also 0 ∈f(x) , also für irgendein a muss gelten f(a) = 0.

Das beweist die Aussage nicht. Ein Beispiel :

Für die Funktion g(x) = 1 (für x [0,1] ) gilt das was gezeigt werden soll. Sogar für alle x. Dies wäre ein widerspruch zu dem was du als Ansatz benutzt.

Du sollst doch zeigen,dass es irgendein x Element von [0, 0.5 ] gibt. Für ,dass gilt f(x) = f(x+0,5).

In Worten ausgesprochen:

Setze ich dieses x in die Funktion f(x) ein so erhalte ich den selben Wert als wenn ich x+0,5 in die Funktion f(x) einsetze.

Beispiel x = 0,3

f(0,3) = f(0,8).

Answer 1

Wende den Zwischenwertsatz auf die Funktion \(h: [0,0.5]\to\mathbb{R}, h(x):=f(x+0.5)-f(x)\) an.

Comments

Ja genau. Hab auf Anhieb an den ZWS gedacht. Aber hab beim Fragesteller gelesen f(0) =1 . Anstatt f(0) = f(1)
Hätte ich das mal direkt vernünftig gelesen...

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Hätte da wirklich f(0)=1 gestanden, wäre die Behauptung offensichtlich falsch; da braucht man nicht mehr viel überlegen. ;-)

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Ja das hat mich ja dran gehindert sofort auf den ZWS zu kommen :D

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für x = 0 gilt h(0,5) - h(0)

für x=0,5 gilt h(1) - h(0,5)

da f(0) == f(1) gilt habe ich dann für x=0:    h(0,5) -h(1)    und     x=0,5:    h(1) - h(0,5)

kann man daraus schon was schließen? ich erkenne nichts und bin grad überfragt

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Über die ersten beiden Zeilen solltest du nochmal nachdenken...

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Wenn es ein x gibt ,so dass h(x)= 0  so ist ja das was gewünscht ist erfüllt.

"x=0:    h(0,5) -h(1)    und     x=0,5:    h(1) - h(0,5) "
heißt übrigens:

Für x= 0  : f(0,5)-f(1)         für x= 0.5 : f(1) -f(0.5)

Das ,was du drauß schließen kannst mal etwas ausführlicher .
Du hast 3(2) Fälle bei diesen Funktionswerten.
1. f(0.5) und f(1) sind gleich . Dann ist deine Bedingung schon erfüllt und du hast den Beweis fertig.
2.1, f(0.5) < f(1)
2.2. f(1) < f(0.5)

Bei 2.1 und 2.2. kannst du nun den Zwischenwertsatz benutzen.
Beide Fälle sorgen dafür ,dass für x= 0  und für x= 0.5 der Wert für h(x) verschiedene Vorzeichen haben.
Da f(x) stetig ist und somit auch h(x)  ( als Komposition stetiger Funktionen) kannst du nun mit  dem ZWS sagen,dass es ein x ∈[0 , 0.5] gibt ,sodass gilt h(x) = 0.

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Edit: deinen neuen beitrag nicht gesehn