Zeigen Sie, dass die n-te Primzahl nicht größer als 2^2^n-1 ist

Question

ich verzweifle gerade an einer Aufgabe und hoffe, jemand kann mir helfen.

Es handelt sich dabei um folgende Aufgabe:

Sei n ∈ℕ. Zeigen Sie, dass die n-te Primzahl p_n nicht größer als 2^2^{n−1} ist. Verwenden Sie

hierzu den Beweis 5.14 von Euklid. Schließen Sie daraus, dass es mindestens n + 1 Primzahlen kleiner als 2^2^n gibt.

Beweis 5.14:

Angenommen, es gibt r < unendlich viele Primzahlen, d.h. ℙ={p₁,...,p_r} mit p₁<p₂<...<p_r.

Wir definieren q = p₁,...,p_r+1.

q besitzt einen Primfaktor p ∈ℙ mit p|q. Da ℙ alle Primzahlen enthält, gibt es j ∈{1,...,r} mit p = p_j.

Dann gilt p|q und p=p_j

also p|(q-p₁*...*p_r)=1 Widerspruch zu p∈ℙ

Also p_r+1.

Also ich verstehe wirklich nur Bahnhof und hab keine Ahnung wie ich das lösen soll :(

Für eure Hilfe wäre ich euch sehr dankbar!