Gebrochen rationale Funktion mit Parametern a und b: x = 3 hebDefL und lim = 5/18

Question

$$f(x)=\frac {x^2-x-6}{ax^3+bx^2}$$

Bestimmen sie für f(x) Parameter a und b so, dass f(x) an der Stelle x = 3 eine hebbare Definitionslücke aufweist und$$\lim_{x\to 3}f(x)=\frac {5}{18}$$ist.

Habe noch nie so einen Aufgabentyp gehabt, wie geht man da vor, bitte?

Answer 1

was Du sofort siehst, ist dass der Nenner (x-3) als Faktor haben muss. Nur dann kann dies hebbar sein.

Schauen wir uns da den Zähler aber vorher noch an:

$$x^2-x-6 = (x+2)(x-3)$$

Nun den Nenner:

$$ax^3+bx^2 = x^2(ax+b) = ax^2(x+\frac ba)$$

Wir sehen also schon: \(\frac ba = -3\)

Nun wollen wir noch den obigen Grenzwert erreichen. Dafür einfach mal die hebbare Definitionslücke wegnehmen und 3 einsetzen:

$$\frac{x+2}{ax^2}$$

3 einsetzen

$$\frac{5}{9a} = \frac{5}{18}$$

Demnach muss a = 2 sein. Aus obiger Gleichung folgt b = -6

Insgesamt also:

$$\frac{x^2-x-6}{2x^3-6x^2}$$

Grüße

Comments

Herzlichen Dank! Du hast mir wieder mal das Matheleben gerettet! (:

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Haha, ich sehe ich habe meine gute Tat für heute erfüllt :).

Gerne