Extrempunkte und Wendepunkte von f(x) = e^x - x

Question

diese Funtkion : f(x) = e^x - x besitzt keine Extrem bzw. Wendepunkte . Ist das richtig ? oder habe ich falsch gerechnet ? 

f'(x) = e^x - 1 ; f''(x) = e^x 

f' (x) = 0 -> nicht lösbar und das gilt auch für f''(x) = 0 

Answer 1

e^x-1 = 0

e^x = 1

Wegen e^0 = 1 --> x = 1

Folglich gibt es durch aus ein Extremum. Mit der zweiten Ableitung (die stets > 0 ist) wissen wir, dass es sich um ein Minimum handelt. Eingesetzt in f(x) und wir erhalten T(0|1).

Einen Wendepunkt gibt es in der Tat nicht.

Grüße

Comments

Dankeschön. 

ich habe jetzt zu dieser Funktion f(x) = e^x - x eine andere Aufgabe, wobei f(x) den verlauf einer autobahn beschreibt. 

Vom Bahnhof B (0|0) führt ein Zubringer zum Punkt P (1|f(1) ) der Autobahn.  Zeigen Sie, dass deser Zubringer tangential in die Autobahn mündet. Wie lange benötigt ein 30 km / h schnelles Fahrzeug vom Bahnhof bis zur Autobahn ? 

Muss ich bei der 1. Aufgabe die Tangentengleichung im Punkt P ( 1| f(1) ) berechnen ? 

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f'(x) = e^x-1

f'(1) = e^1-1

Und für P(1|f(1)) gilt P(1|e^1-1).

Die Gerade die sich aus P aufstellen lässt ist y = (e^1-1)*x, die Steigung m = e^1-1 ist direkt abzulesen und ist dieselbe wie die Ableitung von f(x). Also tangential.

Noch die Dauer ausrechnen, dafür mit Pythagoras die Strecke berechnen. Diese ist d^2 = 1^2 + (e^1-1)^2 = 3,95.

d = 1,99

Jetzt müsste man noch die Einheit wissen (wahrscheinlich km) dann kann man die Zeit ausrechnen, wie lange ein Fahrzeug braucht. Das überlasse ich vollends Dir ;).

Klar?

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Danke danke (:

das mit der Zeit muss ich noch überlegen. d= 1,99 ist also die strecke vom Banhof zur Punkt P . 

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Genau ;)        .

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 d=1,99 km ? und das jetzt in zeit umwandeln ?

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So ist es. Wie lange braucht ein Auto mit 30 km/h für 1,99 km? Oder von mir aus auch für 2 km :P.

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30 : 1,99 ? 

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Es ist doch v = s/t.

s = 1,99 km und v = 30 km/h ist bekannt.  Interessiert sind wir an t.

Ist also genau andersrum.

t = s/v = 1,99 / 30 h = 0,066 h ≈ 4 min

Einverstanden? ;)

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verstanden :) dankeschön.