Extremwerte und Verhalten gegen unendlich bei e-Funktionen

Question

Hallo :) Ich habe eine Aufgabe im Mathebuch gefunden bei der ich die Extremwerte von f und das Verhalten für x gegen +Unendlich berechnen soll.

f(x) = e^x + e^-2x

zur Berechnung der Extremwerte habe ich erst einmal die Funktion abgeleitet.

f'(x) = e^x - 2e^-2x

f"(x) = e^x + 4e^-2x

Als nächstes muss ich ja jetzt die erste Ableitung gleich null setzen, aber weiter komme ich nicht.

Wenn ich x dann rausbekommen würde müsste ich den Wert in die 2. Ableitung einsetzen, oder?

:)

Answer 1

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e^x - 2e^-2x = 0

e^x = 2/ e^{2x}  .... und nun auf beiden Seiten mal e^{2x}

kannst du jetzt weitermachen ? ->

..

..

-> x = ?

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Comments

Danke erst einmal :)

Also dann hätte ich jetzt:

e^3x = 2

Der Logarithmus bei e wird mit ln berechnet, also habe ich..

<=> 3x = ln2 ~ 0,69   | ÷ 3

x = 0,23

Ist das soweit richtig?

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" Ist das soweit richtig?"  ... -> JA

aber:
-> du hast ja dazu ewig gebraucht ..
-> und : notiere zuerst den genauen Wert x= 1/3 * ln(2) .. und dann erst die Näherung

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Tut mir leid, aber ich habe nicht sofort gesehen, dass mir jemand geantwortet hat.

Ok dankeschön!

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" dass mir jemand.."

ok

aber du hast ja auch die Aufgabe noch längst nicht fertig erledigt

zB:   es sind die Extremwerte gefragt .. da genügt es nicht,

einfach nur zu schreiben x= ...

usw,

usw..

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Einsetzen von x in die 2. Ableitung

f"(0,23) = e^0,23 + 4×e^{-2×0,23} = 15,723... > 0, also ein Minimum

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" also ein Minimum .."  .... JA  -> aber ein Minimum hat nicht nur einen x-Wert ?

.. und dann weiter im Aufgabentext ?

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Der y-Wert beträgt etwa 1,89.

Ich habe ihn durch Einsetzen des x-Wertes in f(x) ausgerechnet.

Das mit dem Verhältnis von x gegen +unendlich habe ich leider nicht verstanden.

lim x -> +unendlich

mehr habe ich nicht, da wir bei diesem Teil im Unterricht immer nur abgeschrieben haben, weil der Lehrer es uns nicht vernünftig erklären konnte.

Was ich noch in Erinnerung habe, ist, dass man den höchsten Exponenten betrachten muss.

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" dass man den höchsten Exponenten betrachten muss."

Ja - bei den Potenzfunktionen - hier hast du aber Exponentialfunktionen..

f(x) = e^x + e^{-2x} 

nähert sich für x-> - oo   beliebig genau der Kurve  y= e^{-2x}  . -> + oo

nähert sich für x-> + oo  beliebig genau der Kurve  y= e^x  .. -> + oo

man sagt : y= e^{-2x}  .. bzw. y= e^x

sind jeweils "asymptotische Kurven" für f(x)

ok?

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Achso ok, jetzt verstehe ich es! :)