a so bestimmen, dass stückweise definierte Funktion g stetig ist. g(x) = x^3 + (a+1)x - a, x≤a und...

Question

$$g(x)=x^3+(a-1)\cdot x -a, \quad x\le a$$

$$g(x) =                                             ax^2-2x+3, \quad x>a$$

(Entschuldigt die hässliche Darstellung, leider kenne ich den Latex-Befel für Fallunterscheidungen nicht)

a soll so bestimmt werden, dass g(x) an der Stelle x = a stetig ist. Wie macht man das bitte?

Comments

Warum schreibst du Betragsfunktion? Sollten da noch Betragszeichen |   | angezeigt werden?

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entschuldige, das war dumm formuliert. Die Aufgabe wurde so gestellt, wie ich sie geschrieben habe. Für mich sind so abschnittsweise definierte Funktionen Betragsfunktionen.

Answer 1

g(a) = a^3 + (a-1)a - a = a^3 + a^2  - 2a

und es soll auch gelten

g(a) = a^3 - 2a + 3

Setze die beiden rechten Terme gleich.

a^3 + a^2  - 2a = a^3 - 2a + 3

a^2 = 3

a1 = √3 und a2 = -√3 

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Nach nährerem betrachten ist mir doch ein Fehler aufgefallen:

g(a) = a^3+(a-1)a -a = a^3+a^2-2a

Dein Vorzeichen vor a^2 war falsch. Dann klappt auch alles.

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Schön. Besten Dank. Habe das oben nun korrigiert.

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Auch Dir herzlichen Dank! Muss man die x mit a ersetzen?

Kurz noch eine Frage: Im Prinzip berechnen wir durch das Gleichsetzen ja den Schnittpunkt der zwei Funktionen. Was ich nicht ganz verstehe: Für die zweite Gleichung müsste x eigentlich grösser als a sein, daher dürfte ich a da ja gar nicht einsetzen.

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bg087: Hier werden die Graphen von 2 Polynomen zusammengefügt. Da Polynome in allen Stellen stetig sind, gilt für das Polynom f, dass lim_(x->a+) f(x) = f(a).

EDIT: Du hattest in deiner Frage keine Betragsstriche? Ich werde die Überschrift der Frage anpassen, wenn da sonst nichts zu ändern ist.

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In Ordnung, besten Dank. (:

Answer 2

deine beiden Funktionsdefinitionen müssen für x = a denselben Funktionswert ergeben, damit die Funktion an dieser Stelle stetig ist.

Also gleichsetzen und a berechnen.

Gruß

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Kommst du zu einer reellen Lösung?

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Hatte es selbst nicht gerechnet, sehe aber keinen Fehler bei dir (somit gibt es in diesem Fall keinen möglichen stetigen Anschluss). Allerdings fällt mir grade auf das in der Überschrift was von Betragsfunktion steht. Vielleicht soll man gucken wann

\( |g(x)| \) stetig ist.

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