Seien x,y ∈ X und r,s > 0 mit r+s ≤ d(x,y). Zeigen Sie: B(x,r)∩B(y,s) = ∅.

Question

Hallo :)

Bitte um Lösung. Vielen Dank, schonmal.

Seien x,y ∈ X und r,s > 0 mit r+s ≤ d(x,y). Zeigen Sie: B(x,r)∩B(y,s) = ∅. 

Answer 1

mach einen Widerspruchsbeweis. Nehme an der Schnitt wäre nicht leer. Nimm dir ein Element aus dem Schnitt. Dieses findet sich in beiden Bällen. Stelle die Ungleichungen auf die diese Eigenschaft beschreiben. Summiere beide Ungleichungen und zeige den Widerspruch zur Dreiecksungleichung der Metrik.

Gruß

Comments

Das hab ich jetzt nicht ganz verstanden, wie wäre da der erste Schritt,wenn die Menge nicht leer ist?

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Wenn die Menge nicht leer ist so \( \exists z \in B(x,r) \cap B(y,s) \)