Seien x, y ∈ R>0. Zeigen Sie: (ln(x) + ln(y))/2 ≤ ln ((x+y)/2)

Question

Aufgabe:

Seien \( x, y \in \mathbb{R}_{>0} . \) Zeigen \(  \mathrm{Sie:} \)

$$ \frac{\ln (x)+\ln (y)}{2} \leq \ln \left(\frac{x+y}{2}\right) $$

könnte ielleicht  jemand mir helfen? 

dank schön ! 

Answer 1

zeige \( \sqrt{xy} \leq \frac{x+y}{2} \)

und dann verwende die Monotonie von \(\ln\).

Gruß

Answer 2

1/2 * ( ln ( x ) + ln ( y ) ) ≤ ln [ ( x + y ) / 2 ]
1/2 * ln ( x * y)   ≤ ln [ ( x + y ) / 2 ]
ln ( √ (x * y ))   ≤ ln [ ( x + y ) / 2 ]  | e^ ()
√ (x * y )   ≤  ( x + y ) / 2   | quadrieren
x * y ≤ ( x^2 + 2xy + y^2 ) / 4
4xy ≤ x^2 + 2xy + y^2
0 ≤ x^2 - 2xy + y^2
0 ≤  ( x - y )^2
Quadratterme sind immer ≥ 0