Definitionsbereich der Funktion h(x) = arcsin((1-x)/(1+x)) bestimmen

Question

(a) Bestimmen sie den Definitionsbereich der Funktion

h(x) = arcsin((1-x)/(1+x))  und berechnen sie dort h'(x)

(b) Bestimmen sie lim h(x)      x-> unendlich

Answer 1

Hi,

1. schau dir an wo \(\arcsin(x) \) allgemein definiert ist.

2. Dann überleg dir wo \( \frac{1-x}{1+x} \) nicht definiert ist und für welche \(x\) diese Funktion als Bildbereich den Definitionsbereich von 1. entspricht.

3. Verbinde deine beiden Erkenntnisse.

Gruß

Comments

danke für die schnelle Antwort. Der Definitonsbereich von arcsin(x) ist doch bei (-pi/2, pi/2). Bei dem Rest ist das doch, wenn ich im Zähler 1 und im Nenner -1 einsetze, nicht definiert. Aber wie soll ich diese beiden Dinge jetzt konkret verbinden?

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Das ist falsch. Der Definitionsbereich von [-1,1]. Was du da angibst ist der Wertebereich.

Du darfst im Zähler und Nenner nicht verschiedene Zahlen einsetzen....

Sobald du weißt wo arcsin(x) definiert ist musst du jetzt schauen für welche \(x\) gilt:

$$-1 \leq \frac{1-x}{1+x} \leq 1 $$

Und natürlich bei der Lösung noch deine Definitionslücke berücksichtigen, ob diese eine Rolle spielt.

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dies gilt doch für x=1.

Und wie muss ich jetzt die Definitionslücke berücksichtigen?

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Ja schon, aber du suchst ALLE x und nicht nur eins. Deine Definitionslücke musst du nur berücksichtigen wenn sie in deiner Lösungsmenge vorkommt (tut sie aber nicht ;) ).

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Okay, danke, ich glaube ich habe es verstanden.

Answer 2

Hier einmal die Grafik

die Funktion ( 1- x ) / ( 1 + x ) muß zwischen -1 und 1 liegen.
Das tut sie für x = 0 bis x = ∞.

Man kann auch über Fallunterscheidungen zur Lösung gelangen.

Comments

Da ich an einer sauberen Herleitung der Lösung interessiert bin
  habe ich mit Fallunterscheidungen folgende Ergebnisse erzielt

Für ( x > -1 ) erhalte ich
2 + x  ≥  x  ≥  -x
für den linken Teil der Ungleichungskette erhalte ich
2 + x ≥ x
2 ≥ 0 ( stets wahr )
und für den rechten Teil
x  ≥  -x
2x  ≥  0
x ≥  0
Also ist die Ungleichungskette für x ≥ 0 zutreffend
Mit der Eingangsvoraussetzung ( x > - 1 ) ergibt sich
x ≥ 0

Die Ungleichungskette lautet
2 + x  ≤  x  ≤ -x
Der linke Teil
2 ≤ 0 ist stets falsch.
Damit dürfte die gesamte Ungleichungskette
nicht richtig sein. Es gibt keine Lösungsmenge.

Ist das soweit richtig ?

Die gefunde Lösung x ≥ 0 stimmt mit der Grafik überein.

mfg Georg

Answer 3

Definitionsbereich des von sin(x) : ℝ . Wertebereich des sin (x) [-1,1].

Arcsin(x) ist die Umkehrfunktion  von sin(x) ,also sind Def. und Wertebereich vertauscht.

Also musst du dir anschauen für welche x     (1-x)/(1+x) in dem Definitionbereich von arcsin liegt.

Tipp : Betrachte doch mal x>=0 und x<0.

Zur Ableitung: Kennst du bereits die Ableitung von arcsin?

Also wurde die bei dir bereits hergeleitet bzw. ist gegeben,dass du sie einfach so benutzen darfst.

Falls ja musst du hier einfach Ketten und Quotientenregel anwenden.

zu b)

Gegen welchen Wert strebt (1-x)/(1+x) für x-> unendlich?

Setze diesen Wert in den arcsin und du bist fertig.

Edit :
Falls du du Ableitung von arcsin noch nicht kennst, versuche es mal mit dem Satz für die Ableitung der Umkehrabbildung.

Answer 4

sin :  IR -----> [-1;1]
Also Defber. von arcsin ist [-1;1].
-1  ≤ (1-x)/(1+x)  ≤   1      und x ungleich -1 wegen des Nenners.

1. Fall 1+x ≥ 0  also x   ≥  -1   dann multiplizieren
-1-x ≤ 1-x  ≤   1+x     | +x
-1-2x ≤ 1 ≤   1+2 x     | +2x
-1   ≤ 1 + 2x ≤   1+4 x  | -1
-2    ≤  2x ≤  4 x   : 2  
-1    ≤  x ≤  2 x     ist also für pos. x immer erfüllt und negatives x niemals, denn da ist nie x < 2x
also hier  x≥0.

1. Fall 1+x ≤ 0  also x ≤-1 dann multiplizieren und Zeichen umdrehen
-1-x  ≥ 1-x   ≥  1+x     | +x
-1-2x ≥ 1 ≥   1+2 x     | +2x
-1   ≥1 + 2x ≥   1+4 x  | -1
-2    ≥  2x ≥  4 x  | : 2  
-1    ≥  x ≥  2 x               x ≥  2 x    gilt für alle negativen x und der erste Teil für x ≤-1
also hier   x ≤-1 .

Damit ist D = ] -unendlich ; -1 [   ∪ [1 ; unendlich [

für x gegen unendlich geht  (1-x)/(1+x) gegen 1 also
lim h(x)  = arcsin(1) = pi/2

h ' mit Kettenregel etc gibt  -1/((1+x)*wurzel(x) )

Comments

Danke fürs Hausaufgaben machen.

D = ] -unendlich ; -1 [   ∪ [1 ; unendlich [ 

Ist aber nicht richtig.

Setze x = -2

arcsin(3/(-1)) = arcsin (-3)

Dies ist nicht definiert.

Oder

x= 0,1

arcsin(0,9/1,1 )

mit 0<0,9/1,1 < 1

Dies ist definiert,obwohl es laut dir nicht in D liegt.

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Hallo mathef,

du hast dich im in beiden Fällen verrechnet, somit ist der Def. Bereich falsch.

Der Grenzwert ist auch falsch (1-x)/(1+x) geht gegen -1 für x gegen unendlich.

Gruß

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kann mir bitte jdn helfen ?

also für grenzwert ist arcsin(-1) oder? aber was ergibt denn arcsin(-1) ?

und wie soll ich jetzt definitionsbereich der funktion bestimmen ?

gruß

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Verstehst du meine Antwort nicht?

Arcsin ist definiert auf [-1,1 ] . (Also der Wertebereich von sin, Begrünung siehe oben)

Also musst du schauen,für welche x, das was in den Klammern steht zwischen -1 und 1 liegt.

Wie gesagt,betrachte x positiv und negativ.

arcsin(-1) = ?
Überlege doch mal,dass arcin die Umkehrfunktion von sin(x) ist.

Also wenn sin(-1/2PI) = -1      ist.

Was ist dann arcsin(-1) ???

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Oh ja, war wohl grad nicht mein Ding.

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arcsin(-1) = -2PI   ? ist das richtig ?

und ist definitionsbereich 2 bis + unendlich ? kann das sein?

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Oben ist sogar eine Zeichnung dazu.

arcsin (-1) = -1/2PI

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ah ok also definitionsbereich ist 0 bis + unendlich aber warum ist arcsin(-1) = -1 / 2PI , ist arcsin(-1) nicht -PI/2 ?

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das sollte wohl (-1 / 2)PI heißen.

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Ich empfehle allen Beteiligten sich den von mit eingestellten
Graphen einmal anzusehen.

y muß zwischen -1 und 1 liegen. Dies entspricht dem Def-Bereich
des arcsin [ -1 ; 1 ]. Zwischen rot und grün.

Die blaue Kurve entspricht ( 1 - x ) / ( 1 + x ).
Diese liegt im Bereich zwischen rot und grün für
x = 0 bis x bis ∞.