Finden Sie eine differenzierbare Funktion ƒ, mit f'(x) = 1/sin(x) auf möglichst grossem Definitonsbereich.

Question

Sei folgende Funktion gegeben: $$ g(x) := log(tan\frac { x }{ 2 }) $$ und sei  \( g'(x) = \frac { 1 }{ sin(x) } \).

Der Definitionsbereich der Funktion \( g \) ist aber klein. Finden Sie eine differenzierbare Funktion ƒ, die auf \( ℝ\setminus \left\{ kπ|k∈ℤ \right\}  \) definiert ist und die dort die Eigenschaft \( f′(x) =  \frac { 1 }{ sin(x) } \) hat.

Comments

Hier nur mal eine Idee:

Vielleicht geht f(x) = log ( | tan(x/2) | ) ? Prüfe das mal.

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Wie würde man von Beträgen ableiten? Da ist dann kein Unterschied oder?

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Es müsste schon einen Vorzeichenwechsel geben den Bereichen, in denen tan(x/2) < 0 in den andern ändert sich nichts.

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Wie kommt man eigentlich von \( g(x):=log(tan\frac { x }{ 2 }) \) auf \( g'(x):=\frac { 1 }{ sin(x) } \)? Ich verstehe gar nicht wie abgeleitet wird. bei log() hanelt es sich wohl um den natürlichen Logarithmus.

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gast117 hat dir das beschrieben. Vgl. unten. ( Stichworte für Google-Eingabe: Additionstheoreme / Halbwinkelformel, tan(x/2) )

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Wäre eine mögliche Funktion ƒ also 2*cos(z)*sin(z) ? Bzw. 2*cos(x/2)*sin(x/2)?

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Ohne einen ln bringst du mit der Ableitung den sinus nicht unter den Bruchstrich.

Schau sonst vielleicht auch mal noch hier: http://www-math.mit.edu/~djk/18_01/chapter24/section03.html

Schau auch den Beweis und Beispiel an.

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Also dann $$ ƒ:(x)=log(2*cos(\frac { x }{ 2 })*sin(\frac { x }{ 2 }))?$$

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Das Problem mit dem ln ist immer dasselbe. Er existiert nicht für neg. Argumente. Deshalb mein erster Vorschlag oben einfach mal den Betrag des Arguments nehmen.

Schau mal hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie#Halbwinkelformeln

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Ich kam mit der \( ℝ\setminus \left\{ kπ|k∈ℤ \right\}  \) Definition durcheinander. Sie ist ja definiert als: \( cot(x)=\frac { cos(x) }{ sin(x) } \). Und bei Wolphramalpha kam bei der Ableitung ganz komische Ergebnise raus. Aber ich werde jetzt \( f(x) = log ( | tan(x/2) | ) \) benutzen wie du es mir vorgechlagen hast. Ich dachte nur dass es eine ganz andere Formel sein müsste, weil für \( x∈ℝ\setminus \left\{ kπ|k∈ℤ \right\}  \) definiert man \( cot(x)=\frac { cos(x) }{ sin(x) } \).

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Auch 1/sin(x) hat denselben Definitionsbereich.

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Vielen Dank dass du dir die Zeit genommen hast.

Answer 1

Ich nehme zuerst einmal an, dass mit "log()" der natürliche Logarithmus ln() gemeint ist.
Dann gilt:

g'(x) = dln(tan(x/2)/dx ) = 1/(2*cos(x/2)*tan(x/2).

Da tan(z) = sin(z)/cos(z) ist, ist:  g'(x) = 1/(2*cos(x/2)*sin(x/2))

Nach den Additionstheoremen für trigonometrische Funktionen ist:

2*cos(z)*sin(z) = sin(2*z), in diesem falle also:  g'(x) = 1/(sin(x))

Das scheint so hinzukommen ...

Comments

Wäre eine mögliche Funktion ƒ also 2*cos(z)*sin(z) = sin(2*z)  ?