Aufgabe:
Gegeben sind im \( \mathbb{R}^{2} \) die Punkte \( P(2 / 1), Q(5 / 1), R(5 / 3) \) und \( S(2 / 3) \). Diese Punkte bilden zusammen ein Rechteck.
(a) Das Rechteck soll um den Ursprung um den Winkel \( 110^{\circ} \) gedreht werden.
(i) Bestimmen Sie rechnerisch die Bildpunkte \( P^{\prime}, Q^{\prime}, R^{\prime} \) und \( S^{\prime} \).
(ii) Zeichnen Sie beide Rechtecke in ein Koordinatensytem ein und verdeutlichen durch geeignete Linien die vorgenommene Drehung.
(b) Durch die Funktion \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) mit
\( f(x)=\left[\begin{array}{rr} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] \cdot x \)
wird eine Spiegelung an der \( y \)-Achse beschrieben und durch die Funktion \( g: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) mit
\( g(x)=\left[\begin{array}{rr} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{array}\right] \cdot x \)
eine Scherung.
(i) Nehmen Sie obiges Rechteck und bestimmen zunächst die Punkte \( P^{\prime}, Q^{\prime}, R^{\prime} \) und \( S^{\prime} \), die durch die Spiegelung \( f \) entstehen. Anschließend werden diese Bildpunkte in die Scherung. \( g \) eingesetzt. Berechnen Sie die daraus resultierenden Punkte \( P^{\prime \prime}, Q^{\prime \prime}, R^{\prime \prime} \) und \( S^{\prime \prime} \).
(ii) Verfahren Sie analog zu (i), wenden aber zunächst auf das Rechteck die Scherung \( g \) und anschließend die Spiegelung \( f \) an.
(iii) Tragen Sie in zwei Koordinatensysteme jeweils die drei Rechtecke \( P Q R S, P^{\prime} Q^{\prime} R^{\prime} S^{\prime} \) und \( P^{\prime \prime} Q^{\prime \prime} R^{\prime \prime} S^{\prime \prime} \), die Sie in (i) und (ii) ermittelt haben, ein.
