Quadratische Funktion für ein Kaninchengehege

Question

Ich verstehe eine Aufgabe nicht 

Dagmar hat 4 Kaninchen bekommen und möchte nun im Garten an der Ecke von Haus zu Garage eine Fläche für ihre neuen Haustiere einzäunen.  Ihr Vater hat für sie noch ein altes 2m breites Holztor und einen 9m langen Zaun.

Ein Kaninchen soll mindesten 5m^2 Platz haben

a) wie muss Susi ihr Kaninchengehege anlegen, damit alle Bedingungen erfüllt sind?

b) Ist die die größtmögliche Fläche begründe deine Antwort?

 

ich würde mich wahnsinnig über einen Lösungsweg freuen der einfach und nachvollziehbar ist

 

Der kreis soll nur das Tor verdeutlichen

Answer 1

Wenn das Haus so lang ist, dass man auf der Seite des Hauses keinen Zaun mehr braucht, ergibt sich folgende Funktion für die Fläche des Geheges:

Nehmen wir an, dass x die "lange" Seite des Zaunes sei, dann bleibt für die andere Seite: 9 + 2 + 4 - 2*x = 15-2*x

Die Fläche ist dann    A = (15 -2x) *x = 15x - 2x²

Um herauszufinden, wie x sein muss, um genau auf 5 * 4 m²   = 20 m²   zu kommen, musst Du die Gleichung

20 = 15x - 2x²   lösen.

20 = 15x - 2x² | +2x²

2x² + 20 = 15x   | -15x

2x²  - 15x + 20 = 0

Das ist eine quadratische Gleichung. Lösungen (mit der Formel für quadr.Gleichungen bestimmt):

x1 = 1.7344355629    x2 =5.765564437

x1 ist keine gültige Lösung, weil die 2. Seite dann über 11 Meter lang wäre, weil die Garagen-Länge nicht voll genutzt werden kann.

bei x2 wird die 2. Seite = 3.4688 m

Mit diesen Massen hast Du genau 20m²

Das ist aber nicht die grösst-mögliche Fläche. Wenn ich für x=4m nehme, wird die 2. Seite 11m-4m=7m. Das ergibt 28m^2. . Das ist dann die grösstmögliche Fläche.

LG, Capricorn

Comments

Capricorn könntest du mir erklären wie du auf diese Lösung gekommen bist?

denn ganz verstehe ich sie nicht. Und ist dieser lösungsweg dann nicht eine annahme ?

 

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Hallo Gunship,

Da das Haus auf einer Seite ist, brauchst Du nur Zaun für 3 Seiten. Die eine Seite wird noch durch die Garage verkürzt.

Du kennst die Zaunlänge inkl. Tor = 9 + 2 = 11

Davon ziehst Du die "lange" Seite ab, die wir x nennen: 11 - x

Die andere,gegenüberliegende Seite wird um 4 verkürzt: 11 - x - (x-4) = 15 - 2x . Das bleibt für die kurze Seite übrig.

Die Fläche des Rechtecks ist Seite a * Seite b, eingesetzt: (15 -2x)* x = 15x - 2x²

Das ist die Funktion für die Fläche. Um auszurechnen, wie gross x ist, damit die Fläche 20 wird, stellst Du die Gleichung auf 20 = 15x - 2x²   und löst diese nach x auf (20 ist 4 * 5). Wie man das macht, habe ich oben  beschrieben und hier findest Du die Formel für die quadratische Gleichung:https://de.wikipedia.org/wiki/Quadratische_Gleichung

Die 2 Lösungen muss man noch auf Gültigkeit prüfen, was ich oben schon gemacht habe.

Um das Maximum der Fläche zu finden, leitet man die Funktion ab, aber das hast Du wahrscheinlich noch nicht gelernt. Dies gab eine Lösung von 3.75. Da diese aber kleiner als die Garagenseite ist, war diese Lösung nicht korrekt. Mit x=Garagenbreite=4 kam ich auf 28. Dann versuchte ich es mit ein bisschen mehr und ein bisschen weniger, (4.01 und 3.99) und kam zum Schluss, dass x=4 die beste Lösung ist.

Verstehst Du es nun? Bitte schreibe sonst konkret, was Du nicht verstehst.

LG, Capricorn

Answer 2

Hallo Mathe,

Ich habe das gefühl das da etwas fehlt wie z.b Die Maße von der Hauswand. (Dazu ist die Skizze so im heft?)

 

gruß Gunship