Zeigen, dass die Folge gegen eine bestimmte Variable konvergiert...

Question

Die Folge (a_n) n∈ℕ sei definiert durch a₁ := 0 und a_n+1 := exp( a_n / e) für alle n ∈ ℕ.

Zeigen Sie, dass (a_n) n∈ℕ gegen e konvergiert.

Ich weiß nicht, wie ich das machen muss.

Comments

Du meinst also die Variable e?


(?)

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ja genau..

Die Variable e, die ich jeweils dick markiert habe.

Answer 1

Als erstes musst du zeigen dass die Folge konvegiert.
Sei A der Grenzert, $$a_n \overset{n \rightarrow \infty }{ \rightarrow } A$$ dann habe wir folgendes $$\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n+1}=\lim_{n \rightarrow \infty} e^{\frac{a_n}{e}}  \Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty} a_{n+1}= e^{\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{a_n}{e}} \Rightarrow A=e^{\frac{A}{e}} \Rightarrow \ln A=\frac{A}{e} \\ \Rightarrow \frac{\ln A}{A}=\frac{1}{e} \overset{(*)}{\Rightarrow} A=e$$
Kannst du zeigen dass die Folge konvegiert?
Kannst du begründen warum (*) gilt ?

Comments

ab dem Schritt, wo du die Variable  A  eingeführt hast habe ich wenig verstanden. :(

Könntest du mir bitte weiter erklären, wie man das verstehen soll. Also das mit limes und e-Funktion brauchst du nicht detaillierter zu erklären (das habe ich verstanden), aber den Rest nicht....:(

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Wir behaupten dass der Grenzwert A ist, das bedeutet, da die Folge konvegiert dass $$\lim_{n \rightarrow \infty } a_n=\lim_{n \rightarrow \infty } a_{n+1} =A$$

Wenn man den Grenzwert der Gleichung $$a_{n+1}=e^{\frac{a_n}{e}}$$ ausrechnet bekommt man $$A=e^{\frac{A}{e}}$$ dann musst du diese Gleichung lösen um das A zu finden.

Soll ich es analytischer erklären?

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Das wäre sehr nett, wenn du es analytischer erklären würdest..!