Nullstellenberechnung von Funktionen

Question

Ich bin bei folgenden Aufgaben völlig aufgeschmissen und brauche deshalb Hilfe!

Zu berechnen sind die Nullstellen folgender Funktionen:

1) $$ f\left( x \right)=\frac { (x³+3x²+2x)(x^{ 8 }+0,1) }{ exp({ 800x }^{ 5 }) }  $$

2) $$ g\left( x \right) =\frac { \cos { (x² } )+1 }{ \left| x \right| +1 } $$

Vielen Dank schonmal!

Answer 1

Bei erstens kann (und darf auch nicht) die Nenner niemals Null werden. Für die Nullstellen wird nur die Zähler funktion betrachtet. Diese ist ein Produkt aus zwei Faktoren (die beiden Klammern). Ein Produkt ist nun dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist. Du setzt also beide Terme in den Klammern gleich Null:

Also

x^3+3x^2+2x = 0 -> x(x^2+3x+2)=0

auch hier ist ein Produkt dann Null wenn einer der Faktoren Null ist. Somit steht x=0 als erste Nullstelle fest, zwei weitere ergeben sich durch Lösen von x^2+3x+2=0 mittels pq-Formel o.Ä.

der zweite Klammer Term x^8 + 0,1 = 0 wird nach Umstellen zu x^8=-0,1. Hier wäre jetzt die 8. Wurzel zu ziehen, da eine Wurzel geraden Grades einer negativen Zahl in ℝ keine Lösung hat, kommen durch diesen Term keine weiteren Nullstellen hinzu. Falls der Definitionsbereich auch die komplexen Zahlen einschließt, ergeben sich dann die entsprechenden komplexen Lösungen.

Bei Zweitens darf die Nennerfunktion ebenfalls nicht Null werden ( und wird sie auch nie). Es genügt also auch hier die Betrachtung der Zählerfunktion. wir setzen

cos(x^2)+1=0 -> cos(x^2)=-1

Die cos() - Funktion wird für alle ungeraden Vielfachen von π gleich -1, d.h Nullstellen ergeben sich für x^2= nπ mit n ∈ der ungeraden ℕ. Die Nullstellen sind also x=√(nπ).

Answer 2

bei1 brauchst du die Faktoren im Zähler einzel zu betrachten
x^3 + 3x^2 + 2x = 0     oder     x^8 + 0,1 = 0
beim ersten x ausklammern und beim 2. gibt es keine Lösung.

2)cos(x^2) = -1

x^2 = π+n*2π

also x = ±√(π+2*n*π) mit n aus N

Answer 3

Berechne bei beiden Aufgaben die Nullstellen,des Nenners.
Bei a) bestimme die Nullstellen der einzelnen Faktoren,weil dann wird auch das ganze Produkt = 0
(x^3+3x^2+2x)=0
<=> x(x^2+3x+2= 0 )


(x^8+0.1) = 0
Es kommt jetzt drauf an,ob du Nullstellen in R oder auch im Komplexen bestimmen sollst. Diese Gleichung hat nämlich nur komplexe Nullstellen.

bei b)
cos(x^2)=-1 
Auflösen.(x³+3x²+2x)(x³+3x²+2x)