Ober- und Untersumme

Question

"a,b ∈ ℝ₊ mit a<b. Zeigen Sie mittels Riemannscher Unter- und Obersumme, dass die Funktion f: [a,b] →ℝ, x→x², Riemann integrierbar ist, und dass der Wert des Integrales gegeben ist durch \(\int_{a}^{b} x² dx = \frac { 1 }{ 3 }(b³-a³)\).

Verwenden Sie dazu die Zerlegung Z_n = (x₀,...,x_n), n ∈ ℕ, gegeben durch x_i = a + \( i  \frac { b-a }{ n } \) , i= 0...n.

Zeigen Sie die Existenz der Grenzwerte von U(Z_n,f) und O(Z_n,f) für n→∞, und dass beide Grenzwerte gleich (b³-a³)/3 sind."

Ganz ehrlich....ich verstehe es nicht.

Comments

Hmm..wäre das bei der Untersumme dann sowas:

U= a² * (a+0*((b-a)/n)) + (x₁)² * (a* 1((b-a)/n)) + (x₂)² * (a+2((b-a)/n)) +...+ b² * (a+n*((b-a)/n))

= a³ + (x₁)² * (a+((b-a)/n)) + (x₂)² * (a* 2((b-a)/n)) +...+ b³

^?

Answer 1

zu allerst sind die Intervalle \([x_{i-1}, x_i]\) alle gleich lang für \( i \in \{1,...,n\} \). Sie besitzen die Länge \( \frac{b-a}{n} \).

In diesem Zusammenhang und da \( f(x)\) monoton wächst für \( x \geq 0 \)

$$ U(Z_n, f) = \sum_{k=1}^n f(x_{k-1}) \frac{b-a}{n} $$

$$ O(Z_n,f) = \sum_{k=1}^n f(x_k) \frac{b-a}{n} $$

Setz die Darstellung von \(f(x_i)\) ein, teile in Einzelsummen auf, berechne die Summen (also explizite Form mit kleinem Gauß etc.) und schau was für \( n \to \infty \) passiert.

Gruß

Comments

Wäre das für die Untersumme dann so etwas wie ich eben als Kommentar gepostet habe, ich weiß nicht ob djs gesehen hast, mit x₀= a und x_n=b :

U= a² * (a+0*((b-a)/n)) + (x₁)² * (a* 1((b-a)/n)) + (x₂)² * (a+2((b-a)/n)) +...+ b² * (a+n*((b-a)/n))

= a³ + (x₁)² * (a+((b-a)/n)) + (x₂)² * (a* 2((b-a)/n)) +...+ b³

Und Obersumme dann auch so ohne den ersten Eintrag aus der Untersumme ?

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Nein das macht keinen Sinn deswegen bin ich auch nicht drauf eingegangen.

Tipp: \( f(x_k) = (a+k\frac{b-a}{n})^2 \)

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Hmm..ich hab mal probiert:

\(O= f(a+1*\frac {b-a}{n})^2  \frac {b-a}{n} + f(a+2\frac {b-a}{n})^2 \frac {b-a}{n} +...+ f(a+n \frac {b-a}{n})^2 \frac{b-a}{n} \)

\(= \frac {b-a}{n} ((a+ \frac {b-a}{n})^2 + (a+2 \frac {b-a}{n} )^2 +...+ b^2\)

\( U= f(a+0 \frac {b-a}{n})^2 + (a+1*\frac {b-a}{n})^2  \frac {b-a}{n} + f(a+2\frac {b-a}{n})^2 \frac {b-a}{n} +...+ f(a+n \frac {b-a}{n})^2 \frac{b-a}{n}  \)

\( = a^2 +  \frac {b-a}{n} ((a+ \frac {b-a}{n})^2 + (a+2 \frac {b-a}{n} )^2 +...+ b^2\)

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Was hat das \(f\) dort zu suchen, es fehlen auch Klammern? Die Art wie du es aufgeschrieben hast ist m.E. umständlich für dein weiteres Vorgehen. Außerdem sind deine Vereinfachungen nicht richtig. Versuch es doch mit der Summenschreibweise.

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Das f da ausersehen reingekommen, die müssen da nicht hin.Und die Klammern fehlen, ja stimmt.
Bei mir kommt da irgendein Mist raus, wenn ich das versuche umzuformen.

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Für die Obersumme:
$$ \sum_{k=1}^n (a+k\frac{b-a}{n})^2\frac{b-a}{n} = \sum_{k=1}^n\left(a^2\frac{b-a}{n} + 2ak\frac{(b-a)^2}{n^2} +k^2\frac{(b-a)^3}{n^3} \right)$$
Das in 3 Summen aufteilen, diese kannst du explizit berechnen. Du kriegst ein etwas längeren Term in dem \(n\) vorkommt.

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Und wie kommst du darauf ?

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1. Binomische Formel und ausmultiplizieren.....

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Ich meinte eigentlich was anderes, aber hat sich von selbst geklärt.