Aufgabe:
Bestimmen Sie die QR-Zerlegung der invertierbaren Matrix \( A:=\left[\begin{array}{ccc} 3 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & -1 \\ 4 & 7 & -3\end{array}\right] \)
Da \( A \) invertierbar ist, bilden die Spalten \( \vec{a}_{1}:=\left[\begin{array}{l}3 \\ 0 \\ 4\end{array}\right], \vec{a}_{2}:=\left[\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 7\end{array}\right], \vec{a}_{3}:=\left[\begin{array}{r}4 \\ -1 \\ -3\end{array}\right] \) von \( A \) eine Basis \( \mathcal{B} \) des \( \mathrm{R}^{3} \).
Idee: Gram-Schmidt auf der Basis \( \mathcal{B} \) anwenden, um eine ONB \( \mathcal{Q}:=\left\{\vec{q}_{1}, \vec{q}_{2}, \vec{q}_{3}\right\} \) zu konstruieren. Die Matrix \( Q:=\left[\vec{q}_{1} \vec{q}_{2} \vec{q}_{3}\right] \) ist bzgl. des Standardskalarproduktes orthogonal. Die Matrix \( R:=\left[\left[\vec{a}_{1}\right]_{Q}\left[\vec{a}_{2}\right]_{Q}\left[\vec{a}_{3}\right]_{Q}\right] \) der Koordinatenvektoren von \( \vec{a}_{i} \) bzgl. der ONB \( \mathcal{Q} \) ist nach Konstruktion eine obere Dreiecksmatrix.
Das Gram-Schmidt-Verfahren haben wir bereits im 8. Kapitel auf \( B \) angewendet:
\( \mathcal{B}_{\mathrm{ONB}}=\left\{\vec{q}_{1}=\left[\begin{array}{c}\frac{3}{5} \\ 0 \\ \frac{4}{5}\end{array}\right], \vec{q}_{2}=\left[\begin{array}{r}\frac{-4}{5} \\ 0 \\ \frac{3}{5}\end{array}\right], \vec{q}_{3}=\left[\begin{array}{r}0 \\ -1 \\ 0\end{array}\right]\right\} \)
Nun wird \( R \) bestimmt. Wir multiplizieren \( A=Q R \) auf beide Seiten mit \( Q^{-1}=Q^{T} \). h.d.
