Gram schmidt QR Zerlegung Korrigieren

Question

Wenden Sie das Gram schmidt verfahren auf die spalten matrix

A= ( 1    2   1

       0      1  -5

       1      4    3)

an und bestimmen sie dsmit die QE-Terlegung von A.

Ich komme am ende nicht weiter, ich zeig erstmal das was ich habe

b1= (1 , 0, 1)

b2(2, 1 ,4)

b3=(1,-5,3)

1. B1 normieren => q1= ( 1/√2 , 0 , 1/√2)

2. l2= (-1, 0,1)

3. Normieren l2

Ich erhalte q2= (-1/√2 ,0 , 1/√2 ) 

4. l3= (0, -5, 0)

5. l3 normieren

q3= (0,-1,0)

Q= (  1/√2     -1/√2   0

         0               0        -1

        1/√2       1/√2     0)

R bestimmen:

1.b1 = r11 * q1

(1,0,1) = r11 * ( 1/√2 , 0 , 1/√2) 

r11= √2

2. B2= r12* q1 + r22 *q2

(2,1,4) = r12 *( 1/√2 , 0 , 1/√2) + r22 *(-1/√2 ,0 , 1/√2 )

Gleichungssystem aufstellen

r12= 3√2

r22= √2

3. B3=r13 *( 1/√2 , 0 , 1/√2) + r23 *(-1/√2 ,0 , 1/√2 )+ r33(0,-1,0)

Ich habe such hier gleichubgen aufgestellt 

Nach II. gilt r33=5

I. 1/√2 *r13 -  1/√2*r23 =1

II. 1/√2 *r13 +  1/√2*r23 = 3

I+ II

√2 *r13 = 4

r13= 2√2

Dann erhalte ich für r23= 1+2√2

Und wnn ich die werte einsetze und eine probe durchführe dann kommt nicht das richtige ergebnis raus.

Kann mir bitte jemand zeigen was ich falsch gemscht habe

Danke

Answer 1

Hallo Samira, 

da du nichts anderes schreibst, gehe ich davon aus, dass das Standardskalarprodukt zugrunde liegt.

Bei deinem GS-ONV müsste sich (mit deinen Bezeichnungen) ergeben:

[ die Wurzelterme mit rationalem Nenner, z.B.  1/√2 = √2 / (√2·√2) = √2 / 2 ]

q₁  =  [ √2/2, 0, √2/2 ]

l₂   =   [ -1, 1, 1 ]        [ tut mir leid, aber was soll ich machen?  :- (  ]

Der Rest kann dann natürlich auch nicht richtig sein:

q₂  =   [ - √3/3, √3/3, √3/3 ]

l₃   =    [ -2, -4, 2 ]

q₃   =   [ - √6/6, - √6/3, √6/6 ]  

Probe:

Nachrechnen der Beträge der q_i ( = 1)  und der 3 Skalarprodukte  q_i • q_j ( = 0)  ergibt, dass ein Orthonormalsystem vorliegt.

......

Gruß Wolfgang

Comments

 Danke fürs koriegieren, natürlich weiss ich dass 1-0 = 1 ist, ich habe wohl nicht ganz aufgaepasst.

ich habe es selbstz anchgerechtnet und komme schließlich auf das gleiche wie du.

ich habe noch R bestimmt aber bei dem letzten habe ich Schwierigkeiten.

1.b1 = r11 * q1

(1,0,1) = r11 * ( 1/√2 , 0 , 1/√2) 

r11= √2

2.

2. B2= r12* q1 + r22 *q2

(2,1,4) = r12 *( 1/√2 , 0 , 1/√2) + r22 *(- √3/3, √3/3, √3/3 )

Gleichungssystem aufstellen

r12= 3√2

r22= √3

3. B3=r13 *( 1/√2 , 0 , 1/√2) + r23 (- √3/3, √3/3, √3/3)+ r33( -√6/6, - √6/3, √6/6 )

Wie kann amn das mit Gauß lösen, ich habe es verscuht aber ich bin echt verwirrt hier meine rechnung:

r13            r23            r33

(1/√2         -3/√3          -√6/6    I     1

0               3/√3            √6/6    I     -5

1/√2           3/√3           √6/6     I      3)

zu aller erst habe ich I + III und III + I

√2           0                   0         I 4

0            3/√3             √6/6     I -5

√2           0                   0         I 4

dann III - I

√2           0                   0         I 4

0            3/√3             √6/6     I -5

0             0                    0        I 0  deutet die nullzeile nicht das irgendeine variabel frei wählbar ist?

I * 1/ √2

1         0               0        I 2√2     ---> r13= 2√2

0            3/√3             √6/6     I -5

0             0                    0        I 0 

??

dann habe ich mir gedacht was passiert wenn ich statt ganz am anfangI + III und  III + I wenn ich I + III mache und II - III

dann habe ich in der zweiten zeile

-1/√2  0    0   I -8

aber das heißt ja dass r13= -8 / (-1/√2) = 8√2

aber r13 kann doh nicht 2 verschieden werte annehmen??

Danke schonmal:)

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>  3. B3=r13 *( 1/√2 , 0 , 1/√2) + r23 *(-1/√2 ,0 , 1/√2 )+ r33(0,-1,0)

 √2/2     - √3/3     - √6/6      1  
    0         √3/3      - √6/3     -5    
√2/2        √3/3       √6/6      3

III - I  
 √2/2       - √3/3     - √6/6      1
    0           √3/3      - √6/3     -5
    0         2·√3/3      √6/3       2

iii - 2· II 

√2/2        - √3/3     - √6/6      1    
 0            √3/3     - √6/3     -5
 0               0            √6      12

 r₁₃   = 2·√2  und   r₂₃  = - √3   und     r₃₃  = 2·√6

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Du weißt doch:  immer wieder gern :-)