Zeigen, dass unendlich oft differenzierbare Funktion existiert mit : !

Question 1

Hallo bräuchte mal hilfe bitte :/

Sei ${{}} \epsilon$ , ${{}} 0 < \epsilon \leq \frac{ 1 }{ 3 }$ , vorgegeben. Zeige, dass es eine unendlich oft differenzierbare Funktion

${{}} f \colon \R \longrightarrow \R \,$

gibt mit

$f(x) = \begin{cases} 0 \, \, \mathrm{f \ddot{u}r} \, \, x \leq 0 \, , \\ 1 \, \, \mathrm{f \ddot{u}r} \, \, x \geq \epsilon \text{ und } x \leq 1 - \epsilon \, , \\ 0 \, \, \mathrm{f \ddot{u}r} \, \, x \geq 1 \, .\end{cases}$

Question 2

Am besten zeigst du das, indem du eine solche Funktion konstruierst. D.h. die beiden Lücken im Definitionsbereich geeignet stopfst.

Nicht geprüfte Idee: Könnte man eventuell in den beiden Definitionslücken 1/2 einer Periode einer Sinusfunktion einpassen?

Zeigen, dass unendlich oft differenzierbare Funktion existiert mit : !

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