Zeigen, dass Funktion unendlich oft differenzierbar ist

Question

Gegeben ist die Funktion f: ℝ → ℝ

$$ f(x)= \begin{cases} { e }^{ -\frac { 1 }{ x } }:x > 0 \\ 0: x \le0 \end{cases} $$

Zu zeigen ist nun, dass diese unendlich oft differenzierbar ist.

Ich habe jedoch nicht einmal einen Ansatz wie man dieses Problem löst :/

Answer 1

wenn p_n-1 ein Polynom des Grades n-1 ist, dann lautet die n-te Ableitung f⁽ⁿ⁾(x)=e^-1/x· p_n-1/(x²ⁿ).

Answer 2

ein guter Anfang wäre es, zu differenzieren.

Grüße,

M.B.

Comments

(ups.. war nicht eingeloggt, aber ist meine Frage)

Also die 1. Ableitung wäre ja

$$ \frac{{e}^{-\frac{1}{x}}}{x^2} $$

Hmm.. das sagt mir aber weniger als es wahrscheinlich sollte.. naja egal was man für x einsetzt.. es kann nicht 0 rauskommen.. aber wie sollte man zeigen, dass das immer so bleibt, egal wie oft man ableitet?

(das zu zeigen würde doch reichen, oder?)

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das mit der 0 ist doch sinnlos :/

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das ist nicht die erste Ableitung.

Grüße,

M.B.

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Doch.. das sollte die Ableitung von $${ e }^{ -\frac { 1 }{ x }}$$ sein. (und die Ableitung von 0 ist eben 0)

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Du sollst \(f\) ableiten. Schau Dir die Definition an.

Grüße,

M.B.

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Wir haben stückweise definierte Funktionen noch nie abgeleitet und ich dachte, dass man die einzelnen Teile eben separat ableiten muss (was anscheinend nicht stimmt).

Wie geht man dann vor?

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einzeln ableiten ist richtig, Deine Ableitung trotzdem nicht.

Grüße,

M.B.

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Was ist denn an der Ableitung hier falsch? (mit Kettenregel)

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Du hast nicht \(f\) abgeleitet. Zur Wiederholung: Schaue Dir die Definiton von \(f\) an.

Grüße,

M.B.