Gesucht ist eine Exponentialfunktion vom Typ f(x) = a·e^{bx}, deren Graph im Punkt (2|1) die Steigung 3 hat.

Question

Aufgabe:

Gesucht ist eine Exponentialfunktion \( \mathrm{f} \) vom Typ \( \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{a} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{b} x} \), deren Graph im Punkt (2|1) die Steigung 3 hat.

Answer 1

f'(x) = ab*e^{bx}
Du hast einmal f(2) = 1
Und f'(2) = 3
gegeben.
Reicht das?

Comments

Ich dachte wenn ein mal zeichen dazwischen ist muss ich die produktregel anwenden? Weil bei 3 * e^x muss man dAs ja auch ? Oder muss man das hier wegen dem a nicjt machen?

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Nein. 3 ist doch eine Konstante . Es ist hier genauso als würdest du 3x ableiten.
Da leitest du ja auch nur den Teil mit x ab und der Rest bleibt so stehen.

Answer 2

f ( x ) = a * e^{b*x}
Allgemein
[ e^{Term} ] ´= e^{Term} *  ( Term ´ )

f ( x ) = a * e^{b*x}
f ´( x ) = a * e^{b*x} * b

f ( 2 ) = a * e^{b*2} = 1
f ´( 2 ) = a * e^{2b} * b  = 3

a * e^{2b} = 1
a * e^{2b} * b = 3  | beide Gleichungen teilen
-------------------------------
1 / b = 1 / 3
b = 3

Den Rest schaffst du allein ?
Alle Angaben ohne Gewähr.

Comments

Wie kommt man denn auf die ableitung? Mit der produktregel oder? Aber ich bekomme es einfach nicht raus :/

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Ab hier komme ich nicht weiter. Wie setzt man das ein?

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Ab hier komme ich nicht weiter. Wie setzt man das ein?

Ich weiß zwar nicht was du meinst. Ich rechne aber einmal
zu Ende.

b = 3
und
f ( 2 ) = a * e^b*2 = 1
a * e^b*2 = 1
a * e^3*2 = 1
a = 1 / e^6
f ( x ) = 1 / e^6 * e^{3*x}

Probe
f ´( 2 ) = a * e^2b * b  = 3
1 / e^6 * e^{2*3} * 3  = 3
1 / e^6 * e^{6} * 3  = 3   | stimmt

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In der Musterlösung steht etwas anderes. Man soll die erste Bedingung in die zweite einsetzen und ich kann Gleichung nicht lösen:

(1) Gesucht ist eine Exponentialfunktion \( f \) vom Typ \( f(x)=a \cdot e^{6 x} \), deren Graph durch die Punkte \( (0 \mid 3) \) und \( (5 \mid 2) \) verläuft.
Aus den Koordinaten der Punkte ergeben sich die Bedingungen
(i) \( 3=a \cdot e^{0}=a \cdot 1=a \) und (II) \( 2=a \cdot e^{5 b} \)
Einsetzen von \( \mathrm{a}=3 \) aus (I) in (II) ergibt: \( 2=3 \cdot \mathrm{e}^{5 \mathrm{~b}} \)
also \( \frac{2}{3}=e^{5 b} \Leftrightarrow 5 b=\ln \left(\frac{2}{3}\right) \Leftrightarrow b=\frac{1}{5} \cdot \ln \left(\frac{2}{3}\right) \approx-0,081 \)
Die Funktion \( f \) mit \( f(x)=3 \cdot e^{-0,081 x} \) erfüllt also die geforderten Bedingungen.

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Oh, deine Lösung ist richtig hast alles richtig gemacht. Bei Fragen melde ich mich.

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Ich verstehe alles bis auf den Schritt wie du auf b gekommen bist. In der Lösung steht:

(2) Gesucht ist eine Exponentialfunktion \( f \) vom Typ \( f(x)=a \cdot e^{b x} \), deren Graph im Punkt (2|1) die Steigung 3 hat.
Wegen \( f(x)=a \cdot e^{b x} \) und \( f^{\prime}(x)=a \cdot b \cdot e^{b x} \) ergeben sich die Bedingungen:
(i) \( 1=a \cdot e^{2 s} \) und \( \left(\right. \) iI) \( 3=a \cdot b \cdot e^{2 b} \)
Einsetzen von \( (1) \) in \( (i I) \) ergibt: \( 3=a \cdot b \cdot e^{2 b}=b \cdot\left(a \cdot e^{2 b}\right)=b \cdot 1=b \) also aus \( (1): 1=a \cdot e^{t} \Leftrightarrow a=e^{-6} \)
Die Funktion \( f \) mit \( f(x)=e^{-6} \cdot e^{3 x}=e^{3 x-6}=0,002479 \cdot e^{3 x} \) erfüllt also die geforderten Bedingungen.

Entsprechend benötigt man für die Bestimmung von Funktionen, mit deren Hilfe beschränkte Wachstumsprozesse modelliert werden können, also Funktionen f vom \( \operatorname{Typ} f(x)=c-a \cdot e^{b x} \), die Vorgabe von drei Eigenschaften, um die Koeffizienten a, \( b \), c zu berechnen.

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Fehler zu finden und diese auszuräumen ist auch Zweck des Forums.

verstehe alles bis auf den schritt wie du auf b gekommen bist. Im buch steht
Was meinst du mit beide gleichungen teilen?

Ich habe 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten. Daraus will ich 1 Gleichung mit

1 Unbekannten machen.
Dazu gibt es mehrere Verfahren die angewendet werden können
- das Einsetzungsverfahren ( siehe Beispiel im Buch )

Andere Verfahren
a = b
c = d

Ich kann die Gleichungen auch voneinander abziehen. Linke Seiten abziehen und
rechte Seiten abziehen: a - c = b - d.
Beispiel mit Zahlen
3 = 3
7 = 7
-------
3 - 7 = 3 - 7
-4 = -4  | stimmt

Ich kann die beiden Gleichungen auch teilen
a / c = b / d
3 / 7 = 3 / 7  | stimmt

Bei meiner Antwort habe ich
a * e^2b = 1
a * e^2b * b = 3  | beide Gleichungen teilen
-------------------------------
( a * e^{2b} / ( a * e^2b * b ) = 1 / 3  | a kürzt sich weg; e^{2b} auch
1 / b = 1 / 3
b = 3