Für welche Werte von t hat die Funktion f Extrempunkte? f(x)= x^{3} + (t-2)x

Question

HAllo zusammen,

die Aufgabe ist:

Gegeben ist die Funktion f(x)= x^{3} + (t-2)x
Für Welche Werte von t hat f(x) Extrempunkte?

Ich habe schon die ersten zwei Ableitungen gebildet

f ' (x) = 3x^{2} + (t-2)

f '' (x) = 6x

Soweit richtig? Jedenfalls habe ich dann die erste Ableitung Null-gesetzt :

3x^{2} + (t-2) = 0

Und komme jetzt nicht weiter.. Weil es ja x und t gibt! Da kann ich ja nicht nach t auflösen..



LG

Answer 1

3x² + (t-2) = 0 

3x^2 = 2 - t

Damit das zwei Lösungen hat, muss gelten

2-t > 0

Also

2 > t 

d.h. für t<2 hat die Funktion Extrempunkte.

Wenn du weisst, dass Polynome 3. Grades keine oder zwei Extremalstellen haben, bist du hier fertig.

Ansonsten noch den Fall t=2 ansehen und dann feststellen, dass die Funktion f für t=2 monoton ist auf ganz R. Dann bist du auch fertig.

Comments

Super, danke! Ist es denn unwichtig ob ich 3x^2 = t-2 schreibe oder 3x^2 = 2-t ?? Weil ich hätte es sonst andersrum gemacht.. Und muss ich das dann gar nicht weiter auflösen nach x??

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Bitte! 

3x² + (t-2) = 0  |-(t-2)

3x^2 = -(t-2) = -t + 2 = 2-t und nicht umgekehrt ;)

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Okay. Und  für t=2 : gibt es da einen Sattelpunkt bei der Ausgangsfunktion und wie kann ich das feststellen? Durch F '' ungleich 0 ??

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t=2

Habe ich schon erwähnt, du kannst Monotonie zeigen. 

f ' (x) = 3x² + (2-2)  = 3x^2 ≥0 für alle x € R.

Da die Steigung nie negativ ist, hat die Funktion kein lokales Extremum. Damit ist t=2 für diese Fragestellung nicht interessant.

f ''(x) = 0 liefert dir ja eigentlich noch nichts Definitives.

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alles klar, danke für die Ausführlichkeit :)

Answer 2

f ' (x) = 3x² + (t-2)

Und komme jetzt nicht weiter.. Weil es ja x und t gibt! Da kann
ich ja nicht nach t auflösen..

Als Ergebnis wird x in Abhängigkeit von t herauskommen

3 * x^2 + t - 2 = 0
3 * x^2 = 2 - t
x^2 = (2 - t ) / 3
x = ± √  [ ( 2 - t ) / 3 ]

Der Radikant ( Wert in der Wurzel ) muß stets ≥ 0 sein
( 2 - t ) / 3 ≥ 0
2 - t ≥ 0
t ≤ 2

für
t < 2 gibt es 2 Lösungen
2 Extremwerte : Min und Max

t = 2 gibt es 1 Lösung : x = 0
Durch Überprüfung mit der 2.Ableitung ergibt
sich : dies ist kein Extrempunkt sondern ein Wendepunkt.

mfg Georg

Comments

Okay konnte ich nachvollziehen, danke :D