Integral lösen: 1/(x(x+1)) dx

Question

Folgendes Integral ist zu lösen

\( \int \frac{1}{x(x+1)} d x \)

Nun weiß ich durch eine Formelsammlung, dass folgendes rauskommen muss: \( \ln (x)-\ln (x+1) \)

Allerdings komme ich nicht auf dieses Ergebnis.

Answer 1

Ich wäre auch nicht auf die Stammform gekommen. Aber

[ ln ( x ) - ln ( x + 1 ) ]  ´

1 / x - 1 / ( x + 1)
[ ( x + 1 ) - x ] / [ x * ( x + 1 ) ]
1 / ( x*(x+1))

Wird der ganzen Vorgang retoure durchgeführt kommt man von
1 / ( x*(x+1))
[ ( x + 1 ) - x ] / [ x * ( x + 1 ) ]
1 / x - 1 / ( x + 1)
nach
∫ 1 / x - 1 / ( x + 1)  dx
ln ( x ) - ln ( x + 1 )

mfg Georg

Answer 2

1/(x(x+1))

Mach eine Partialbruchzerlegung des Integranden.

Du kannst direkt schätzen, was das geben kann:

1/(x(x+1)) = ((x+1) - x)/(x(x+1)) = 1/x - 1/(x+1)