Kurvendiskussion bei Funktion f(x) = 1/x (x^5 -2x^3 + x)

Question

Kurvendiskussion bei Funktion

\( f\left(x=\frac{1}{x}\left(x^{5}-2 x^{3}+x\right)\right. \)

1) Definitionsbereich

2) Extremwerte

3) Schnittpunkte mit den Achsen

4) Symmetrieverhalten

5) Grenzenwertbetrachtung

Comments

Du solltest vor allem zuerst die Funktion ausmultiplizieren. Das vereinfacht das ganze immens.

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Ich habe gerade leider keine Zeit, aber wenn du auf die folgende Seite gehst:

https://matheguru.com/rechner/kurvendiskussion

und die folgende Funktion eingibst : (1/x)*(x^5-2*x^3+x)

dann wird für dich eine komplette Kurvendiskussion berechnet.

Du kannst dir auch die jeweiligen Rechenschritte detaillierter angucken.

Auf der Seite steht zwar nichts zum Definitionsbereich, aber das ist nicht so schwer:
Zuerst einmal überlegst du dir, an welchen x-Stellen die Funktion keine Werte haben darf:
für x=0 ! denn man darf nicht durch 0 teilen (siehe Funktion : 1/x ....).
Dann hättest du schonmal die einzige Stelle, die nicht im Definitionsbereich der Funktion liegt.
Wenn du dir jetzt den Zähler anguckst, wirst du erkennen, dass die Funktion sowol negativ als auch positiv werden kann. Das heißt schonmal, dass der Definitionsbereich nicht die Natürlichen Zahlen werden darf.
Also, entweder die ganzen Zahlen oder die reellen Zahlen. Da die Funktion nicht nur aus ganzen Zahlen besteht (kannst du anhand des Graphen und durch Einsetzen von bestimmten Werten sehen), müssen es die reellen Zahlen sein, die den Definitionsbereich der Funktion darstellen.

Also:
D = { x ∈ ℝ | x ≠ 0}
(ausgesprochen: Der Definitionsbereich der Funktion sind die Reellen Zahlen, wobei x nicht 0 werden darf.)

Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.

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Wobei offensichtlich x = 0 eine behebbare Lücke ist (siehe mein Kommentar).

Answer 1

f ( x ) = 1 / x * ( x^5 - 2 * x^3 + x )
oder
f ( x ) = x^4 - 2 * x^2 + 1

Definitionsbereich
D = ℝ

Extremwerte
f ´( x ) = 4 * x^3 - 4 * x
4 * x^3 - 4 * x = 0
x * ( 4 * x^2 - 4 ) = 0
x = 0
4 * x^2 - 4 = 0
4 * x^2 = 4
x = 1
x = -1

Funktionswerte noch ausrechnen
E1 ( 0  | f ( 0 ) )
E2 ( 1  | f ( 1 ) )
E3 ( -1  | f ( -1 ) )

2.Ableitung
f ´´ ( x ) = 12 * x^2 - 4
f ´´ ( 0 ) = 12 * 0^2 - 4 = -4 ( Hochpunkt )
f ´´ ( 1 ) = 12 * 1^2 - 4 = 8 ( Tiefpunkt )
f ´´ ( -1 ) = 12 * (-1)^2 - 4 = 8 ( Tiefpunkt )

Schnittpunkte mit den achsen
f ( x ) = x^4 - 2 * x^2 + 1 = 0
x^4 - 2 * x^2 + 1 = 0
Ersetzen
x^2 = z
z^2 - 2 * z + 1 = 0  | 2.binomische Formel
( z -1 )^2 = 0
z = 1
x^2 = z = 1
x^2 = 1
x = 1
x = -1
( 1  | 0 )
( -1  | 0 )
Schnittpunkt mit der y-Achse
f ( 0 ) = 1
( 0  | 1 )

Symmetrieverhalten
Achsensymmetrisch ?
f ( x ) = f ( -x ) ?
f ( -x ) = (-x)^4 - 2 * (-x)^2 + 1 = f ( x )
Achsensymmetrisch

Grenzenwertbetrachtung
lim x −> ∞ [ x^4 - 2 * x^2 + 1 ]
x^4 wächst schneller als x^2 daher = ∞
Da Achsensymmetrie
lim x −> -∞ [ x^4 - 2 * x^2 + 1 ] = ∞