Injektivität, Surjektivität und Bijektivität von Alpha

Question

Hallo:)

Also es wäre super wenn mir jemand die Aufgabe lösen und das ganze erläutern könnte, da ich langsam nicht mehr durchblicke. Vielen Dank schon mal :)

Sei K ein Körper und V,W endlich erzeugte Vektorräume über K.   Sei α∈Hom_K (V, W). Sind folgende Situationen möglich ? (wenn Möglich Beispiel angeben, wenn nicht beweisen)

a.) dim_k (V)=3 dim_k(W)=4 und α ist Injektiv.

b.) V und W haben die gleiche Dimension und und α ist nicht bijektiv.

c.) V und W haben die gleiche Dimension und α ist Injektiv, aber nicht surjektiv.

d.) K=ℝ V=W=ℝ³ und es gilt (1,1,0,)α=(0,0,1) und (1,1,1)α=(0,0,0,) (α soll im Exponenten sein)

e.) dim_k(V)= 3 dim_k(W)=2 und α ist surjektiv.

Answer 1

Was meinst du mit Exponent bei d) Meinst du nicht eher a((1,1,0)) = (0,0,1). Falls meine Vermutung richtig ist, dann sind alle Fälle bis auf c) möglich: Einfache Beispiele, verwende die Vektorräume die du kennst. a kannst du als Abbildungsmatrix zwischen den beiden Vektorräumen darstellen.

zu c): Da V und W gleiche Dimension haben ist eine injektive lineare Abbildung a: V -> W immer surjektiv, denn der Kern a enthält nur den Nullvektor von V. Die Behauptung kannst du dann über die Dimensionsformel zeigen.

Gruß

Comments

Also bei d.) soll das (1,1,0)^α=(0,01) sein, also alpa bildet ab

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Ok die Notation war mir bisher nicht bekannt aber wir meinen dasselbe.