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Seien folgende Vektorraum-homomorphismen über K gegeben:

φ: V → W

ψ: W → X

ρ: X → Y

1) Gilt wenn (ρ ο ψ) nicht surjektiv ist, dass dann ψ nicht surjektiv ist?

2) Gilt wenn ψ nicht injektiv ist und ρ nicht injektiv ist, dass dann ρ ο ψ nicht injektiv ist?

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die Abbildung ρ \rho bilde die Elemente 1 1 und 2 2 auf 1 1 ab. Es gelte X=W=Y={1,2} X = W = Y = \{1, 2\} . Wähle ψ \psi als Identität. Dann ist ψ \psi surjektiv, aber ρψ \rho \circ \psi nicht surjektiv.

Sei ψ \psi nicht injektiv. Dann existieren a,bW a, b \in W mit ψ(a)=ψ(b) \psi(a) = \psi(b) . Es folgt ρ(ψ(a))=ρ(ψ(b)) \rho(\psi(a)) = \rho(\psi(b)) , folglich ist ρψ \rho \circ \psi nicht injektiv für alle ρ : XY \rho : X \rightarrow Y und alle nicht-injektiven ψ : WX \psi : W \rightarrow X .

MfG

Mister

PS: Es ist ab a \neq b .

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