Injektivität/Surjektivität bei Homomorphismen

Question

Seien folgende Vektorraum-homomorphismen über K gegeben: 

φ: V → W

ψ: W → X

ρ: X → Y

1) Gilt wenn (ρ ο ψ) nicht surjektiv ist, dass dann ψ nicht surjektiv ist?

2) Gilt wenn ψ nicht injektiv ist und ρ nicht injektiv ist, dass dann ρ ο ψ nicht injektiv ist?

Answer 1

die Abbildung \( \rho \) bilde die Elemente \( 1 \) und \( 2 \) auf \( 1 \) ab. Es gelte \( X = W = Y = \{1, 2\} \). Wähle \( \psi \) als Identität. Dann ist \( \psi \) surjektiv, aber \( \rho \circ \psi \) nicht surjektiv.

Sei \( \psi \) nicht injektiv. Dann existieren \( a, b \in W \) mit \( \psi(a) = \psi(b) \). Es folgt \( \rho(\psi(a)) = \rho(\psi(b)) \), folglich ist \( \rho \circ \psi \) nicht injektiv für alle \( \rho : X \rightarrow Y \) und alle nicht-injektiven \( \psi : W \rightarrow X \).

MfG

Mister

PS: Es ist \( a \neq b \).