Beweis auf Surjektivität/Injektivität bei einer Funktion. Ist die Lösung richtig?

Question

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4 Funlutionen
\( \begin{aligned} f: & \mathbb{R} \backslash\{1\} \rightarrow \mathbb{R} \backslash\{1\}, f(x)=\frac{x+1}{x-1}+\frac{1}{1-x} \\ & =\frac{x+1}{x-1}+\frac{1}{-(x-1)} \\ & =\frac{(x+1) \cdot(-1)}{-(x-1)}+\frac{1}{-(x-1)}=\frac{-x-1}{-(x-1)}+\frac{1}{-(x-1)}=\frac{-x}{-(x-1)} \\ & =\frac{x}{x-1} \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} x \cdot(z-1) & =z \cdot(x-1) \\ x z-x & =x z-z \\ -x & =-z \\ x & =z \end{aligned} \)
Surjeutivitat:
\( \begin{array}{l} f(x)=u \rightarrow \frac{x}{x-1}=u \\ x=u \cdot(x-1) \\ x=u_{x}-u \\ x+u=u_{x} \\ u=u x-x \\ \frac{u}{4}=x-x \\ \end{array} \)

Für u/u würde immer 1 rauskommen, in meiner Auffassung habe ich somit bewiesen dass die Funktion f(x) injektiv ist aber nicht surjektiv. Liege ich da richtig in der Annahme oder habe ich etwas falsch gemacht?

Answer 1

\( \frac{x}{x-1}=u \)

\(  x=u \cdot(x-1) \)

\(  x=u\cdot x-u \)

\(  x-u\cdot x = -u \)   Jetzt x ausklammern.

\(  x(1-u)  = -u \) 

\(  x =  \frac{u}{u-1} \)

Also gibt es zu jedem u≠1 so ein x.

Comments

Verdammt, da lag mein Fehler. Danke sehr!

Dementsprechend wäre die Funktion nicht surjektiv richtig?

Answer 2

Kleine Bemerkung für Symmetrie-Fans:

\(xu=x+u\) geht bei Vertauschung von \(u\) und \(x\)

in sich über, daher muss die Zuordnungsvorschrift

\(x\mapsto u\) die gleiche Gestalt wie \(u\mapsto x\)

besitzen.