Stochastik - Erwartungswert berechnen

Question

In einer Urne sind eine weiße Kugel, vier rote Kugeln und fünf schwarze Kugeln. Ein Spiel besteht aus dem einmaligen Ziehen einer Kugel. Beim Ziehen einer weißen Kugel werden dem Spieler 10 € ausbezahlt, beim Ziehen einer roten Kugel muss er 1€ zahlen und bei einer schwarzen Kugel 2 €. Die Zufallsgröße X gibt den Gewinn des Spielers an.

a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von x.

P(X=-1)=4/10

P(X=-2)=5/10

P(X=10)=1/10

b) Ermitteln Sie den Erwartungswert von X. Wird der Spieler auf lange Sicht gewinnen oder verlieren?

E(x)=-0,40 €   Er wird verlieren, da E(x)<0 ist, oder?

c) Wie muss der Gewinn bei der Ziehung einer weißen Kugel festgelegt werden, damit der Spieler auf lange Sicht weder gewinnt noch verliert?

E(x) muss 0 sein, oder? Komm dann auf 14 €.

Stimmt das?

LG

Answer 1

Ja. Das ist alles richtig.

Hast du die Aufgaben aus dem Internet? Dann nimm doch eine Seite bei der du gleich die Lösungen dabei hast. Oder waren das die Lösungen und du weißt nicht ob sie richtig sind?

Comments

Nein, ich poste natürlich keine Aufgaben wo ich schon die Lösungen dazu habe. Das sind Aufgaben aus meinem Lehrbuch. Da habe ich leider keine Lösungen dazu. Wir haben den Erwartungswert auch noch nicht durchgenommen, erst in der nächsten Stunde. Ich will jedoch schon ein wenig Vorahnung haben wenn wir das Thema angehen. Deswegen vergewissere ich mich lieber nochmal ob ich richtig gerechnet habe.

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OK. Mal 3 Aufgaben an denen du dich versuchen kannst.

1. Man würfelt mit einem Würfel. Die Zufallsgröße X gibt die gewürfelte Augenzahl an. Bestimme Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung von X.

2. Man würfelt mit zwei Würfel. Die Zufallsgröße X gibt die gewürfelte Augensumme an. Bestimme Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung von X.

3. Man würfelt mit zwei Würfel. Die Zufallsgröße X gibt das Produkt der Augenzahlen an. Bestimme Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung von X.

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Zu 1:

P(X=1)=1/6

P(X=2)=1/6

...

E(X)=3,5

Varianz und Standardabweichung kann ich noch nicht.

2. und 3. folgt.

Passt 1 schon mal?

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P(X=2)=1/36

P(X=3)=2/36

P(X=4)=3/36

P(X=5)=4/36

P(X=6)=5/36

P(X=7)=6/36

P(X=8)=5/36

P(X=9)=4/36

P(X=10)=3/36

P(X=11)=2/36

P(X=12)=1/36

E(x)=7

Das zur 2.

Die 3. mache ich heute abend.

P(X=2)=1/36

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Ja. 1. und 2. passt.

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zu 3.

P(X=1)=1/36

P(X=2)=2/36

P(X=3)=2/36

P(X=4)=3/36

P(X=5)=2/36

P(X=6)=4/36

P(X=8)=2/36

P(X=9)=1/36

P(X=10)=2/36

P(X=12)=4/36

P(X=15)=2/36

P(X=16)=1/36

P(X=18)=2/36

P(X=20)=2/36

P(X=24)=2/36

P(X=25)=1/36

P(X=30)=2/36

P(X=36)=1/36

E(X)=441/36

Ich habe leider keinen Taschenrechner da. Also ich muss sagen wenn man nichts zu tun ist, ist das Lösen solcher Aufgaben sicherlich keine schlechte Möglichkeit die Zeit herumzubringen. Stimmt das Ergebnis?

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Ja das Ergebnis ist richtig. Für Studenten wären die Fragen übrigens mit minimalem Rechenaufwand zu berechnen.

a) E(X) = 3.5 aufgrund der Symmetrie

b) E(X) = 3.5 + 3.5 = 7

c) E(X) = 3.5 * 3.5 = 12.25

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Ich habe das wahrscheinlich sehr umständlich gemacht. Alle Elementarereignisse auf dem Block notiert und dann eben gerechnet. Bei der 3. Aufgabe war der Aufwand natürlich am Höchsten. Zuerst ausmultiplizieren und dann nochmal schauen welche Wahrscheinlichkeit zu dem jeweiligen Produkt passt.

Symmetrie in Bezug zur Stochastik sagt mir nichts. Kannst du es vielleicht kurz erklären was damit gemeint ist?

Ich bin mal schnell essen, bevor ich ein wenig Physik über werde :)

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Mittelwert von 1 und 6 ist 3.5 weil 1 und 6 gleichwahrscheinlich sind.

Mittelwert von 2 und 5 ist 3.5 weil 2 und 5 gleichwahrscheinlich sind.

Mittelwert von 3 und 4 ist 3.5 weil 3 und 4 gleichwahrscheinlich sind.

Damit ist der gesamte Mittelwert auch 3.5.

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Gut zu wissen. Ich denke da fehlt mir noch ein klein wenig um Routine um auf solche Gedankenschritte zu kommen. Momentan gebe ich mich aber auch damit zufrieden den Stoff zu verstehen, der für das Abitur relevant ist. :)