Koordinatenform in Parameterform umwandeln

Question

Beispiel

Gegeben ist eine Gerade in Koordinatenform

\( 4 x_{1}+3 x_{2}=5 \)

Wir lösen die Gleichung nach \( x_{2} \) auf

\( x_{2}=\frac{5}{3}-\frac{4}{3} x_{1} \)

Jetzt ersetzen wir \( x_{1} \) durch \( \lambda \), d.h. \( x_{1}=\lambda \)

\( x_{2}=\frac{5}{3}-\frac{4}{3} \lambda \)

und schreiben \( x_{1} \) und \( x_{2} \) passend übereinander

\( \begin{array}{l} x_{1}=0+1 \cdot \lambda \\ x_{2}=\frac{5}{3}+\left(-\frac{4}{3}\right) \cdot \lambda \end{array} \)

Auf diese Weise fält uns der Übergang zur Parameterform nicht mehr schwer

\( \mathrm{g}: \quad \vec{x}=\left(\begin{array}{l} 0 \\ \frac{5}{3} \end{array}\right)+\lambda \cdot\left(\begin{array}{c} 1 \\ -\frac{4}{3} \end{array}\right) \)

Kann mir jemand erklären, wie hier das x1 zustande gekommen ist? Wenn ich nach x1 auflöse, erhalte ich x1 = 5/4 - 3/4*x2.

Answer 1

Es wurde ja im Schritt davor x1 = λ gesetzt.

Da gibt es kein "Zustandekommen". Da steht ja nichts anderes als x1= 0 + λ   <=> x1 =  λ

Allgemein siehe auch https://www.matheretter.de/wiki/koordinatenform-parameterform

Answer 2

Das ist ein etwas anderer Weg auf die Parameterform zu kommen, der eventuell etwas ersichtlicher ist:

4x + 3y = 5

Setz einmal für x = 0 ein und lös nach y auf. y = 5/3

Setz einmal für y = 0 ein und lös nach x auf. x = 5/4 = 1.25

Damit hast du die Punkte [0, 5/3] und [5/4, 0] = mit denen wir die gerade aufstellen können.

X = [5/4, 0] + r * ([0, 5/3] - [5/4, 0]) = [1.25, 0] + r * [-5/4, 5/3] 

X = [1.25, 0] + r * [-3, 4]